Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издательства ВВЕДЕНИЕ В 1995—1996 учебном году в МЭСИ на факультете «Статистика» была создана специализация «Актуарий для банков, страховых компаний и фирм», по которой к январю 2003 г. на кафедре математической статистики и эконометрики обучение прошли 7 потоков (более 220 человек). <...> Основное внимание уделено расчету чисто рисковой премии, обеспечивающей эквивалентность обязательств сторон: страховщика и страхователя. <...> Затем приводятся примеры вычисления единовременной рисковой премии для некоторых договоров (например, для комбинированного страхования). <...> Исследуется надбавка в комбини4 рованном договоре и процесс распределения суммарной рисковой надбавки между несколькими субпортфелями с различными рисками. <...> Бурроу «Основы страховой статистики» используются термины: «рисковая премия» (РП), которая обеспечивает эквивалентность обязательств сторон, «нетто-премия» (НП), 5 включающая в себя рисковую надбавку для обеспечения безубыточности страхования, «брутто-премия» (БП) (или «страховой взнос»), содержащая, кроме нетто-премии, еще и нагрузку (на ведение дела и прибыль). <...> В книге Г.И. Фалина [33], посвященной страхованию жизни и пенсионных схем, нетто-премия обеспечивает эквивалентность обязательств сторон, а вместе с надбавкой образует брутто-премию. <...> Рисковая премия (в некоторых источниках — чисто рисковая премия) обеспечивает эквивалентность обязательств сторон. <...> В связи с этим структура страхового взноса (брутто-премии): Брутто-премия = Нетто-премия + Нагрузка; Нетто-премия = Рисковая премия + Рисковая надбавка. <...> На последнем занятии возможна итоговая контрольная работа по усложненным задачам, в которых комбинируются две простые, ранее разобранные задачи, например, страхование дома от двух-трех причин при распределенном риске, страхование автомобиля одновременно от угона и от аварии с франшизой (при распределенном <...>
Основы_страховой_математики._Учебное_пособие._Гриф_МО_РФ_Авт._Дог._№_379.pdf
УДК 368:51(075.8)
ББК 65.271â6ÿ73
Ê66
Рецензент ы:
кафедра страхового дела
Российской экономической академии им. Г.А. Плеханова
(çàâ. кафедрой ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Â.È. Ðÿáèêèí);
ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Â.Í. Баскаков
Главный редактор издательства
доктор экономических наук Н.Д. Эриашвили
Корнилов И.А.
К66 Основы страховой математики: Учеб. пособие для вузов. —
Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, — 400 ñ.
ISBN 5-238-00592-Õ
Рассмотрены основные задачи актуария страховой компании. Сформулированы
вероятностно-статистические принципы решения этих задач. Приведены
некоторые реальные задачи и на числовых примерах показаны методы
выполнения актуарных расчетов. Проиллюстрированы основные положения
страховой математики. Содержательная интерпретация полученных формальных
результатов позволяет лучше понять мотивы поведения на страховом
рынке. Представлены некоторые концептуальные проблемы страховой математики
и изложены возможные подходы к их решению. Даны контрольные
задания для самостоятельной подготовки, способствующие усвоению материала.
Для студентов и аспирантов экономических специальностей вузов, изучающих
страховое дело, сотрудников страховых компаний и бизнесменов,
стремящихся расширить свое представление о страховании.
ББК 65.271â6ÿ73
ISBN 5-238-00592-Õ
© È.À. Êîðíèëîâ, 2004
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2004.
Воспроизведение всей книги или любой ее части
запрещается без письменного разрешения издательства
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Часть I. ОСНОВНЫЕ АКТУАРНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Глава 1. Профессия — Актуарий (Введение в специальность)
1.1. Основные положения
1.2. Решающее правило Байеса
1.3. Изменение цены денег
1.4. Изменение величины ущерба
1.5. Эквивалентность обязательств сторон
1.6. Некоторые сведения из страховой практики
1.7. Примеры задач актуария в страховой компании
1.8. Замечания о работе актуария страховой компании
1.9. Анализ риска страховщика и путей его снижения
1.10. Аналитические и численные методы решения актуарных задач
Глава 2. Примеры элементарных актуарных задач
2.1. Расчет размера прибыли и возмещения
2.2. Единовременная рисковая премия
2.3. Пример распределенного риска
2.4. Пример комбинированного страхования
2.5. Страхование ответственности владельца автомобиля
2.6. Рисковая надбавка
2.7. Нетто — премия
2.11. Некоторые особенности расчета размера выплат при наступлении
страхового случая
2.12. Понятие о начальном капитале (резерве) и перестраховании
2.13. Оценка объема риска, передаваемого на перестрахование
Глава 3. Традиционные задачи оценки риска страховщика
3.1. Степень риска
3.2. Частичные убытки
3.3. Связанные и независимые страхования
3.4. Максимальная величина принимаемого риска
3.5. Размер капитала
Глава 4. Актуарные проблемы при распределенном риске
4.1. Риск страховщика
4.2. Участие страхователя в возмещении ущерба
4.3. Франшиза
397
3
9
10
10
11
16
18
19
20
23
25
28
30
33
33
35
36
39
40
42
45
2.8. Переход от единовременной рисковой премии к периодической 48
2.9. Использование коэффициента рассрочки в страховой практике
2.10. Замечание о равенстве рисков страховщика и страхователя
53
55
58
60
61
65
65
70
73
76
79
82
82
84
85
Стр.381
4.4. Характеристики объема страховой ответственности
4.5. Расчет рисковой надбавки и нетто-премии
4.6. Размер возмещения
4.7. Повышение надежности в портфеле с распределенным риском
с помощью резерва и перестрахования.
Глава 5. Вероятностно-статистическое исследование страхового
портфеля
5.1. Использование функции распределения ущерба при оценке
вероятности разорения страховщика
5.2. Процентные точки
5.3. Коэффициент вариации. Степень риска.
5.4. Влияние степени риска на рисковую надбавку
5.5. Распределение суммарной рисковой надбавки между
субпортфелями
Глава 6. Особенности имущественного страхования
6.1. Основные положения
6.2. Специфика актуарных задач в имущественном страховании
88
94
95
97
100
100
101
105
106
109
112
112
115
6.3. Некоторые актуарные вопросы автотранспортного страхования 117
6.4. Некоторые примеры имущественного страхования
7.1. Постановка задачи
7.2. Индивидуальные модели
7.3. Среднее и дисперсия в индивидуальных моделях риска
7.4. Коллективные модели риска
Глава 8. Некоторые специальные задачи страхования имущества
123
Часть II. АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ В ПРАКТИКЕ СТРАХОВАНИЯ 129
Глава 7. Модели риска
130
130
131
133
135
139
8.1. Расчет нетто-премии в договоре о комбинированном страховании 139
8.2. Обсуждение процесса формирования рисковой надбавки
в договоре комбинированного страхования
8.3. Специфика страхования больших рисков
8.4 Страхование риска невозвращения кредита
141
142
146
8.5. Предоставление скидки страхователю за многолетнее
сотрудничество 156
8.6. Особенности страхования космических рисков
Глава 9. Анализ поведения страховщика на страховом рынке
9.1. Анализ однородного страхового портфеля с применением
нормальной аппроксимации
9.2. Пример комплексного решения основных актуарных задач
(надбавка, начальный резерв, перестрахование, вероятность
разорения) с использованием пуассоновской аппроксимации
158
163
163
171
9.3. Обсуждение проблемы выбора аппроксимации биномиального
распределения нормальным законом и распределением Пуассона 180
9.4. Использование процедуры свертки в оценке общего ущерба
9.5. Объединение дискретных рисков
9.6. Однородные риски
9.7. Неоднородные риски
184
187
188
201
9.8. Использование отрицательного биномиального распределения
при моделировании потока требований об оплате
398
205
Стр.382
Глава 10. Перестрахование
10.1. Основные принципы перестрахования. Основные договора
10.2. Особенности перестрахования имущества. Пример различных
вариантов договоров о перестраховании
10.5. Сравнение квотного и эксцедентного перестраховочных
договоров
10.6. Некоторые практические рекомендации
10.7. Перестрахование и взнос страхователя
10.8. Объединение распределенных рисков
10.9. Перестрахование суммарного распределенного риска
Часть III. НЕКОТОРЫЕ КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
АКТУАРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Глава 11. Практика имущественного страхования.
11.1. Динамика реальной цены застрахованного имущества
11.4. Практика оценки финансовой устойчивости страхования
11.5. Оценка хозяйственно-финансовых рисков
11.6. Показатели тарифной ставки
11.7. Закон Пуассона и экспоненциальное распределение.
Их использование в страховании.
11.8. Особый случай
Глава 12. Концепции и проблемы определения рисковой надбавки
12.1. Традиционные подходы
12.2. Элементы теории полезности
12.3. Сравнение различных договоров с помощью функции
полезности
12.4. Понятие о доверительных оценках в страховании
12.5. Некоторые проблемы определения рисковой надбавки.
Глава 13. Концептуальные проблемы перестрахования
(и некоторые смежные вопросы)
13.1. Проблема определения размера удержания
13.2. Проблема резервов
13.3. Исследование позиции цедента при перестраховании
13.4. Учет инфляции
13.5. Влияние информации на цену договора
13.6. Позиции цедента и перестраховщика
14.2. Вероятность разорения
14.3. Влияние капитала на вероятность разорения
14.4. Суммарный ущерб в портфеле из двух договоров
14.5. Сложные пуассоновские процессы
14.6. Неравенство Лундберга
399
209
209
212
10.3. Анализ целесообразности заключения договора о перестраховании 215
10.4. Сравнение и графическая иллюстрация различных перестраховочных
договоров
232
236
237
239
240
241
245
246
246
11.2. Применение процедуры свертки при расчете рисковой премии
с учетом динамики процессов на рынке страхования имущества 248
11.3. Оценка риска на основе данных страховщика
250
251
252
254
256
260
262
262
263
267
270
272
278
278
279
280
283
284
286
Глава 14. Некоторые концептуальные проблемы оценки устойчивости 288
14.1. Задача о разорении
288
291
291
297
299
299
Стр.383
14.7. Дисперсия, как мера стабильности
14.8. Взаимные услуги по перестрахованию
14.9. Роль дисперсии в формировании рисковой надбавки
14.10. Распределение надбавки между субпортфелями
14.11. Влияние перестрахования на вероятность разорения
Глава 15. Статистические модели в страховании
15.1. Модель оперативного управления запасами денежных средств
страховщика
15.2. Статистическая модель страхового пула, основанная на идеях
теории игр
15.3. Исследование риска в страховании методом ковариационного
анализа с факторизацией качественных переменных
301
302
303
305
305
308
308
312
319
Заключение 333
Приложение 1. Сведения из теории вероятностей и математической
статистики 336
Приложение 2. Практикум по курсу «Основы актуарных расчетов» 352
2.1. Задачи для самостоятельной подготовки и решения
2.2. Тест для самоконтроля
2.3. Итоговый тест для аудиторной контрольной работы
352
359
372
2.4. Возможные задачи для аудиторной контрольной работы, зачета,
экзамена 374
2.5. Рекомендуемые вопросы к экзаменационным билетам по курсу
«Основы актуарных расчетов»
2.6. Толковый словарь
Приложение 3. Математико-статистические таблицы
Библиографический список
382
386
388
394
400
Стр.384