Динамический хаос и гиперболические аттракторы: от математики к физике (150,00 руб.)

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

УДК 53:51 + 530.1 ББК 22.31+29.05.03+22.311 К 891 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru • ф и з и к а • м а т е м а т и к а • б и о л о г и я • н е ф т е г а з о в ы е т е х н о л о г и и Кузнецов С. П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы: от математики к физике. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. — 488 с. Книга посвящена рассмотрению возможности реализации в физических системах структурно устойчивого хаоса, обусловленного присутствием однородно гиперболических аттракторов, таких как соленоид Смейла–Вильямса, DA-аттрактор Смейла, аттракторы типа Плыкина. Дается обзор содержательной части гиперболической теории, а также возможных ситуаций появления гиперболических аттракторов. На основе физических принципов конструируются примеры систем с такими аттракторами. Рассмотрены методы компьютерной проверки гиперболичности и даны иллюстрации их применения. Обсуждается моделирование электронных устройств с гиперболическими аттракторами и наблюдение гиперболического хаоса в лабораторных экспериментах. Книга предназначена для студентов, аспирантов, исследователей в области нелинейной динамики и ее приложений. ISBN 978-5-4344-0100-5 ББК 22.31+29.05.03+22.311 © С. П. Кузнецов, 2013 © Ижевский институт компьютерных исследований, 2013 http://shop.rcd.ru http://ics.org.ru

Стр.4

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ................................................................................................. 11 Часть I. Основные понятия и обзор ..................................................... 19 Глава 1. Динамические системы ................................................................. 21 1.1. Динамические системы: основные понятия. Системы с непрерывным и дискретным временем и их взаимосвязь ...................................... 22 1.2. Описание динамики в терминах «фазовой жидкости». Консервативные и диссипативные системы. Аттракторы ..................... 25 1.3. О динамических системах в механике .............................................. 27 1.4. Показатели Ляпунова и их вычисление ............................................ 30 1.5. Грубые системы и структурная устойчивость ................................. 35 Глава 2. Формальные примеры хаотических аттракторов ................... 37 2.1. Хаос в рамках представления о фазовой жидкости и отображение пекаря ......................................................................................................... 38 2.2. Соленоид Смейла–Вильямса ............................................................. 41 2.3. DA-аттрактор ...................................................................................... 42 2.4. Аттракторы типа Плыкина ................................................................ 44 Глава 3. Основы гиперболической теории ................................................ 47 3.1. Понятие гиперболичности ................................................................. 48 3.2. Содержание и результаты гиперболической теории ....................... 52 3.2.1. Критерий конусов ..................................................................... 54 3.2.2. Неустойчивость ......................................................................... 55 3.2.3. Поперечная канторова структура аттрактора и размерность Каплана–Йорке ........................................................... 56 3.2.4. Марковские разбиения и символическая динамика ............... 57 3.2.5. Перечисление орбит и топологическая энтропия .................. 59 3.2.6. Структурная устойчивость ....................................................... 59 3.2.7. Инвариантная мера Синая–Рюэля–Боуэна ............................. 60 3.2.8. Отслеживание псевдотраекторий и воздействие шума ......... 62 3.2.9. Эргодичность и перемешивание .............................................. 62 3.2.10 Энтропия Колмогорова–Синая ............................................... 63

Стр.5

6 Оглавление Глава 4. Где искать гиперболические аттракторы? ............................... 65 4.1. Теорема Ньюхауса–Такенса–Рюэля и ее отношение к однородно гиперболическим аттракторам ............................................................... 66 4.2. Модель Лоренца и ее модификации ............................................... 69 4.3. Некоторые отображения с однородно гиперболическими аттракторами ............................................................................................ 72 4.4. От DA-аттрактора к аттрактору типа Плыкина ............................. 75 4.5. Пример Ханта: надстройка аттрактора типа Плыкина ................. 80 4.6. Движение по геодезическим линиям на поверхности отрицательной кривизны и механическая система с гиперболической динамикой ................................................................................................ 86 4.7. Возможное возникновение аттрактора Плыкина в модели нейрона типа Хиндмарша–Роуза .......................................................................... 92 4.8. Катастрофа голубого неба и рождение аттрактора Смейла–Вильямса ................................................................................... 94 4.9. Машина для вытягивания сахарной ваты ...................................... 96 Часть II. Низкоразмерные модели ........................................................ 99 Глава 5. Механическое движение с толчками ........................................ 101 5.1. Механические модели: движение частицы на плоскости под действием периодических толчков ............................................... 102 5.2. Численное моделирование и наблюдение аттракторов типа соленоида Смейла–Вильямса ............................................................... 104 Глава 6. Дифференциальные уравнения с периодическими переключениями .......................................................................................... 109 6.1. Система с переключениями, имеющая аттрактор типа Смейла– Вильямса ................................................................................................ 110 6.2. Динамическая система с аттрактором типа Плыкина ................. 112 6.2.1. Аттрактор типа Плыкина на сфере ...................................... 113 6.2.2. Аттрактор типа Плыкина на плоскости .............................. 117 Глава 7. Неавтономные системы на основе связанных автоколебательных элементов .................................................................. 125 7.1. Осциллятор ван дер Поля .............................................................. 126 7.2. Аттрактор Смейла–Вильямса в неавтономной системе попеременно возбуждаемых осцилляторов ван дер Поля ................. 129 7.3. Система попеременно возбуждаемых осцилляторов ван дер Поля, описываемая в терминах медленных комплексных амплитуд .......... 140

Стр.6

Оглавление 7 7.4. Нерезонансная передача возбуждения ......................................... 142 7.5. Аттрактор типа Плыкина в неавтономной системе связанных осцилляторов ......................................................................................... 143 7.5.1. Представление состояний на сфере и уравнения модели.. 144 7.5.2. Численные результаты для связанных осцилляторов ........ 147 Глава 8. Автономные системы с однородно гиперболическими аттракторами ................................................................................................ 151 8.1. Автономная система двух связанных осцилляторов с саморегулирующимся попеременным возбуждением .................... 152 8.2. Система, построенная на основе модели хищник–жертва ......... 155 8.3. Пример катастрофы голубого неба, сопровождающейся рождением аттрактора Смейла–Вильямса ......................................................... 162 8.4. Минимальная модель с аттрактором Смейла–Вильямса ............ 169 Глава 9. Параметрические генераторы гиперболического хаоса ....... 175 9.1. Параметрическое возбуждение связанных осцилляторов. Трехчастотный параметрический генератор ...................................... 176 9.2. Гиперболический хаос в параметрическом генераторе с модулированной добротностью и модуляцией накачки ................. 180 9.2.1. Динамические уравнения ..................................................... 181 9.2.2. Качественное объяснение механизма работы .................... 183 9.2.3. Численные результаты ......................................................... 185 9.2.4. Численные результаты в рамках метода медленных комплексных амплитуд .................................................................. 188 9.3. Параметрический генератор гиперболического хаоса на основе четырех связанных осцилляторов с модуляцией накачки ................. 190 9.3.1. Модель, принцип действия и основные уравнения ........... 192 9.3.2. Хаотическая динамика: результаты компьютерного моделирования ............................................................................... 194 Глава 10. Гиперболическая динамика в амплитудных уравнениях .. 201 10.1. Амплитудная динамика в терминах угловой переменной, подчиняющейся отображению типа Бернулли ................................... 202 10.2. Модель двух попеременно возбуждающихся пар осцилляторов ван дер Поля с равными частотами ..................................................... 208 10.3. Модель двух попеременно возбуждаемых пар нерезонансных осцилляторов ван дер Поля .................................................................. 212 10.4. Описание моделей, построенных на основе осцилляторов ван дер Поля, методом медленно меняющихся амплитуд ................. 216

Стр.7

8 Оглавление Часть III. Проверка гиперболичности ................................................ 219 Глава 11. Проверка трансверсальности пересечения многообразий . 221 11.1. Визуализация многообразий ....................................................... 222 11.2. Распределение углов пересечения многообразий ..................... 226 Глава 12. Визуализация инвариантных мер ........................................... 233 12.1. Методика визуализации инвариантных мер .............................. 234 12.2. Численные результаты для гиперболических и негиперболических аттракторов ................................................................................... 235 Глава 13. Критерий конусов ...................................................................... 241 13.1. Процедура проверки критерия конусов ..................................... 242 13.2. Примеры применения критерия конусов ................................... 249 Часть IV. Многомерные системы и феномены .............................. 261 Глава 14. Системы четырех попеременно возбуждающихся неавтономных осцилляторов ..................................................................... 263 14.1. Динамика, описываемая отображением «кот Арнольда», в системе связанных неавтономных осцилляторов ван дер Поля ..... 264 14.2. Динамика, соответствующая отображениям с гиперхаосом .... 272 14.2.1. Система, реализующая отображение с гиперхаосом на торе ............................................................................................ 273 14.2.2. Модель с каскадной передачей возбуждения вверх по спектру частот .......................................................................... 274 Глава 15. Гиперхаос и синхронизация хаоса в системе связанных неавтономных осцилляторов ................................................ 283 15.1. Уравнения и основные режимы работы ..................................... 284 15.2. Уравнения для медленных комплексных амплитуд .................. 290 15.3. Динамика фаз ................................................................................ 292 15.4. Изрешечивание бассейна и пузырение аттрактора ................... 293 Глава 16. Автономные системы с динамикой вблизи гетероклинического контура ........................................................ 301 16.1. Гетероклинический контур: пример Гукенхеймера и Холмса............................................................................................... 302 16.2. Аттрактор типа Смейла–Вильямса в системе трех связанных автоколебательных элементов ........................................................... 304 16.3. Аттрактор с динамикой, описываемой отображением «кот Арнольда» ................................................................................... 308

Стр.8

Оглавление 9 16.4. Модель с гиперхаосом ............................................................... 312 16.5. Автономная система с аттрактором типа Смейла–Вильямса при резонансной передаче возбуждения в кольцевом массиве осцилляторов ван дер Поля ................................................................ 315 Глава 17. Системы с запаздывающей обратной связью ....................... 321 17.1. Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом ....................................................................... 322 17.2. Осциллятор ван дер Поля с запаздывающей обратной связью, модуляцией параметра и вспомогательным сигналом .................... 326 17.2.1. Аттрактор типа Смейла–Вильямса в системе с запаздыванием ......................................................................... 327 17.2.2. Гиперхаос ........................................................................ 331 17.3. Осциллятор ван дер Поля с двумя петлями запаздывающей обратной связи и модуляцией параметра .......................................... 337 17.4. Автономная система с запаздыванием ..................................... 343 17.5. Параметрический генератор хаоса с запаздывающей обратной связью и модуляцией накачки ............................................................ 347 Глава 18. Гиперболический хаос структур Тьюринга .......................... 355 18.1. Структуры Тьюринга и модельные уравнения ........................ 356 18.2. Гиперболический хаос в модели Свифта–Хохенберга с модуляцией параметров ................................................................... 358 18.2.1. Кольцевая система .......................................................... 359 18.2.2. Конечномерная модель .................................................. 364 18.2.3. Система с фиксированными граничными условиями . 368 Часть V. Электронные схемы: моделирование и эксперименты ......................................................................................... 373 Глава 19. Электронные схемы с гиперболическим хаосом в программной среде Multisim ................................................................... 375 19.1. Программный продукт Multisim ............................................... 376 19.2. Системы с аттрактором Смейла–Вильямса ............................. 376 19.2.1. Система на основе неавтономных осцилляторов ван дер Поля ................................................................................ 376 19.2.2. Система на основе неавтономного осциллятора ван дер Поля с дополнительной цепью запаздывающей обратной связи ........................................................................... 381

Стр.9

10 Оглавление 19.2.3. Аналоговое устройство с аттрактором Смейла– Вильямса. Неавтономная система ............................................. 385 19.2.4. Аналоговое устройство с аттрактором Смейла– Вильямса. Автономная система ................................................ 391 19.3. Аттрактор типа Плыкина в электронном устройстве, моделируемом в программной среде Multisim ................................. 396 19.3.1. Основные уравнения ...................................................... 396 19.3.2. Схема аналогового устройства и моделирование в среде Multisim ....................................................................................... 398 19.3.3. Выявление природы аттрактора .................................... 402 Глава 20. Эксперименты с электронными устройствами, имеющими аттрактор типа Смейла–Вильямса ........................................................... 407 20.1. Экспериментальное устройство в виде двух попеременно возбуждающихся неавтономных осцилляторов ............................... 408 20.2. Электронные устройства с запаздыванием .............................. 412 20.2.1. Система с запаздывающей обратной связью, модуляцией параметра и вспомогательным сигналом ............ 413 20.2.2. Система с двумя петлями запаздывающей обратной связи и модуляцией параметра ................................. 417 Заключение ................................................................................................... 423 Приложения .................................................................................................. 427 A. Отображения Эно и Икеды .................................................................... 429 B. Кельтский камень ................................................................................... 439 C. Подкова Смейла и гомоклиническое сплетение ............................... 453 D. Размерности и формула Каплана–Йорке ............................................ 459 E. Модель Ханта: формальное определение ........................................... 465 Список литературы .................................................................................. 471

Стр.10