В частности, известный метод Гамильтона –Якоби отвечает случаюпотенциальных течений. <...> Геодезические на группах Ли c левоинвариантной метрикой . <...> Динамика изменяемых систем на группах Ли . <...> Уравнение вихря 2D-гидродинамики как кинетическое уравнение . <...> Было доказано, что циркуляция скорости по замкнутому контуру, который перемещается вместе с частицами жидкости, постоянна, и, как следствие, был установлен закон вмороженности вихревых линий (вспомним идеюДекарта о том, что завихряющийся эфир переносит вместе с собой материальные тела!) <...> Предположим, что механическая система с n+1 степенями свободы движется по инерции и ее лагранжиан, представляющий только кинетическую энергию, допускает однопараметрическуюгруппу симметрий. <...> Понижая порядок системы факторизацией по орбитам действия этой группы, мы видим, что функция Рауса, представляющая лагранжиан приведенной системы с n степенями свободы, содержит слагаемое, не зависящее от скоростей. <...> Оказывается, семейство фазовых траекторий, составляющих инвариантное многообразие, однозначно проектирующееся на конфигурационное пространство механической системы, допускает естественное и удобное описание в терминах многомерной гидродинамики. <...> Например, в геометрической оптике при построении изображений основным объектом является система лучей, а не отдельные световые лучи. <...> Здесь v(x, t) — скорость частиц сплошной среды в трехмерном евклидовом пространстве E3 = {x},u(x, t) — некоторое соленоидальное векторное поле: div u =0. <...> В этом случае вихревые линии совпадают с силовыми линиями магнитного поля. <...> Вихревые линии — интегральные кривые поля ротора (вихря) скорости, чем и объясняется выбор термина в общем случае. <...> Семейство отображений E3 →E3, задаваемое формулой (1.7) Функция f в гидродинамике обычно называется функцией Бернулли. <...> Используя соотношение (1.1),из (1.8) получаем закон сохранения потока поля u через подвижнуюповерхность: gt(Σ) Отсюда, в свою очередь, выводится <...>
Общая_теория_вихрей_(изд._2-ое,_испр._и_доп.).pdf
УДК 532.527
ББК 22.253.315+22.211
K592
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биоло гия
• нефтег азовые
технологии
Козлов В. В.
Общая теория вихрей. — 2-е изд., испр. и доп. — М.–Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2013. — 324 с.
Книга посвящена математическому изложениюаналогий, существующих между
гидродинамикой, геометрической оптикой и механикой. Оказывается, изучение
семейств траекторий гамильтоновых систем, по существу, сводится к задачам многомерной
гидродинамики идеальной жидкости. В частности, известный метод Гамильтона
–Якоби отвечает случаюпотенциальных течений. Рассказано о некоторых
приложениях такого подхода, в частности о вихревом методе точного интегрирования
дифференциальных уравнений динамики.
Книга рассчитана на научных сотрудников и аспирантов, интересующихся математической
физикой, механикой и дифференциальными уравнениями.
ISBN 978-5-4344-0110-4
В. В.Козлов, 2013
c
c
Ижевский институт компьютерных исследований, 2013
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.253.315+22.211
Стр.2
Оглавление
Предисловие ко второму изданию ..... ...... ...... . 5
Введение . ...... ...... ...... ...... ...... . 7
ГЛАВА I. Гидродинамика, геометрическая оптика и классическая
механика ..... ...... ...... ...... ...... . 17
§ 1. Вихревые движения сплошной среды . .. .. .. .. ... .. 17
§ 2. Точечные вихри на плоскости . .. .. .. .. .. .. ... .. 26
§ 3. Системы лучей, законы отражения и преломления, теорема
Малюса .
. .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 35
§ 4. Принцип Ферма, канонические уравнения Гамильтона, оптикомеханическая
аналогия ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 42
§ 5. Гамильтонова форма уравнений динамики .. .. .. ... .. 53
§ 6. Действие в фазовом пространстве и инвариант Пуанкаре –
Картана . .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 65
§ 7. Метод Гамильтона –Якоби и принцип Гюйгенса . . . . . . . . 72
§ 8. Гидродинамика гамильтоновых систем . . . . . . . . . . . . . 82
§ 9. Уравнения Ламба и проблема устойчивости . . . . . . . . . . 93
ГЛАВА II. Общая теория вихрей ...... ...... ...... . 99
§ 1. Уравнения Ламба и уравнения Гамильтона .. .. .. ... .. 99
§ 2. Сведение к автономному случаю.. .. .. .. .. .. ... .. 103
§ 3. Инвариантные формы объема .. .. .. .. .. .. .. . . . . 112
§ 4. Вихревые многообразия ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 116
§ 5. Уравнение Эйлера .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 124
§ 6. Вихри в диссипативных системах .. .. .. .. .. .. . . . . 129
§ 7. Сила Лоренца и ее обобщения .. .. .. .. .. .. .. . . . . 136
§ 8. Вихревая теория адиабатических равновесных процессов . . 146
§ 9. Инвариантные многообразия общего вида . . . . . . . . . . . 154
§ 10. Вихревая теория кинетического момента . . . . . . . . . . . . 165
Стр.3
4ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА III. Геодезические на группах Ли c левоинвариантной метрикой
. ...... ...... ...... ...... ...... . 175
§ 1. Уравнения Эйлера –Пуанкаре . .. .. .. .. .. .. ... .. 175
§ 2. Вихревая теория волчка ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 182
§ 3. Мера Хаара . .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 189
§ 4. Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
§ 5. Функции Казимира и вихревые многообразия . . . . . . . . . 200
§ 6. Динамика изменяемых систем на группах Ли . . . . . . . . . 206
§ 7. Вихревая теория неголономных систем . . . . . . . . . . . . . 225
ГЛАВА IV. Вихревой метод интегрирования уравнений
Гамильтона .... ...... ...... ...... ...... . 241
§ 1. Метод Гамильтона –Якоби и теорема Лиувилля о полной интегрируемости
. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 241
§ 2. Некоммутативное интегрирование уравнений Гамильтона . . 246
§ 3. Вихревой метод интегрирования .. .. .. .. .. .. ... .. 251
§ 4. Полная интегрируемость фактор-системы . . . . . . . . . . . 263
§ 5. Расширенный метод Гамильтона –Якоби . . . . . . . . . . . . 269
§ 6. Системы с трехмерными инвариантными многообразиями . . 282
Дополнение 1. Инварианты завихренности и вторичная гидродинамика
.. ...... ...... ...... ...... ...... . 291
Дополнение 2. Квантовая механика и гидродинамика ...... . 297
Дополнение 3. Уравнение вихря 2D-гидродинамики как кинетическое
уравнение .. ...... ...... ...... ...... . 303
Литература ...... ...... ...... ...... ...... . 311
Предметный указатель ..... ...... ...... ...... . 321
Стр.4