РЮЭЛЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ КЛАССИЧЕСКОЙ РАВНОВЕСНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Перевод с английского Б. М.Гуревича и С.В.Савченко под редакцией Б.М.Гуревича Москва Ижевск 2002 УДК 530.132, 514.74 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru • фи з и к а • ма т е ма т ика • би о л о г ия • т е хн ика Рюэль Д. <...> Рюэля основана на курсе лекций, прочитанных автором в университетах США и Франции. <...> В ней с математической точки зрения обсуждаются как традиционные вопросы классической равновесной статистической механики — распределение Гиббса, фазовые переходы и др., так и родственные вопросы теории динамических систем (символическая и топологическая динамика, энтропия, вариационный принцип). <...> Подсчет периодических орбит для отображений и потоков . <...> Термодинамический формализм берет свое начало в физике, но он уже проник в топологическую и дифференциальную динамику, а среди его приложений — изучение инвариантных мер диффеоморфизмовАносова (Синай [3]) и вопрос о мероморфности дзета-функции Сельберга (Рюэль [7]). <...> Грубо говоря, мы не будем считать результат достаточно общим, если он относится лишь к случаю, когда пространство конфигураций системы полностью факторизовано, т. е. 0.2. <...> Максимум выражения3 S(σ)−σ(U) по всем вероятностным мерам σ на Ω равен lnZ и достигается на единственной мере σ = ρ. <...> ОПИСАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 19 В физических приложениях Ω интерпретируется как пространство конфигураций конечной системы. <...> Вопрос, почему гиббсовский ансамбль описывает тепловое равновесие (по крайней мере, для «больших систем»), если принята указанная физическая интерпретация, весьма глубок и до конца не выяснен. <...> Главный вывод изсказанного состоит в том, что гиббсовский ансамбль интересно изучать «в пределе больших систем». <...> Термодинамический формализм исследует меры, похожие на гиббсовский ансамбль ρ, в пределе, когда пространство Ω становится бесконечным и присутствует некоторая дополнительная <...>
Термодинамический_формализм._Математические_структуры_классической_равновесной_статистической_механики..pdf
УДК 530.132, 514.74
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• фи з и к а
• ма т е ма т ика
• би о л о г ия
• т е хн ика
Рюэль Д.
Термодинамический формализм. Математические структуры классической
равновесной статистической механики. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2002, 288 стр.
Предлагаемая книга одного из создателей термодинамического формализма
Д.Рюэля основана на курсе лекций, прочитанных автором в университетах США
и Франции. В ней с математической точки зрения обсуждаются как традиционные
вопросы классической равновесной статистической механики — распределение
Гиббса, фазовые переходы и др., так и родственные вопросы теории динамических
систем (символическая и топологическая динамика, энтропия, вариационный
принцип). В виде двух последних глав в издание также вошла более поздняя книга
Д.Рюэля, посвященная динамическим дзета-функциям.
Будет полезна математикам и физикам, специализирующимся в области статистической
механики и теории динамических систем.
ISBN 5-93972-115-X
Институт компьютерных исследований, 2002
http://rcd.ru
Б. М.Гуревич, 2002
c
c
Стр.4
Оглавление
Предисловие редактора перевода .. .. ... .. .. ... .. ... 12
Предисловие автора .. .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 15
ГЛАВА 0. Введение ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 16
0.1. Общие сведения ............. ............. .... 16
0.2. Описание термодинамического формализма ........... .... 18
0.3. Краткий обзор содержания ....... ............. .... 24
ГЛАВА 1. Теория гиббсовских состояний .. .. .. ... .. ... 27
1.1. Пространство конфигураций ...... ............. .... 27
1.2. Взаимодействия ............. ............. .... 28
1.3. Гиббсовские ансамбли и термодинамический предел ...... .... 30
1.4. Предложение . . ............. ............. .... 30
1.5. Гиббсовские состояния ......... ............. .... 31
1.6. Термодинамический предел гиббсовских ансамблей ...... .... 32
1.7. Граничные члены ............. ............. .... 33
1.8. Теорема ..... ............. ............. .... 35
1.9. Теорема ..... ............. ............. .... 35
1.10. Алгебра в бесконечности ........ ............. .... 36
1.11. Теорема (характеризация чистых гиббсовских состояний) . . . .... 37
1.12. Операторы
Λ . ............. ............. .... 38
1.13. Теорема (характеризация единственного гиббсовского состояния) . . . 39
1.14. Замечание .... ............. ............. .... 40
Комментарии ..... ............. ............. .... 41
Упражнения ...... ............. ............. .... 41
ГЛАВА 2. Гиббсовские состояния: дополнения . . . ... .. ... 43
2.1. Морфизмы решетчатых систем ..... ............. .... 43
2.2. Пример ..... ............. ............. .... 44
2.3. Взаимодействие F∗Φ .......... ............. .... 44
2.4. Лемма ...... ............. ............. .... 45
2.5. Предложение . . ............. ............. .... 46
2.6. Замечания .... ............. ............. .... 47
2.7. Системы условных вероятностей .... ............. .... 47
2.8. Свойства гиббсовских состояний .... ............. .... 49
2.9. Замечание .... ............. ............. .... 50
Комментарии ..... ............. ............. .... 50
Упражнения ...... ............. ............. .... 50
Стр.5
6ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 3. Трансляционная инвариантность. Теория равновесных
состояний . . . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 53
3.1. Трансляционная инвариантность .... ............. .... 53
3.2. Функция AΦ .. ............. ............. .... 54
3.3. Статистические суммы .......... ............. .... 55
3.4. Теорема ..... ............. ............. .... 57
3.5. Инвариантные состояния ........ ............. .... 59
3.6. Предложение . . ............. ............. .... 60
3.7. Теорема ..... ............. ............. .... 60
3.8. Энтропия .... ............. ............. .... 63
3.9. Предел на бесконечности в смысле Ван Хова .......... .... 64
3.10. Теорема ..... ............. ............. .... 64
3.11. Лемма ...... ............. ............. .... 66
3.12. Теорема ..... ............. ............. .... 66
3.13. Следствие .... ............. ............. .... 69
3.14. Следствие .... ............. ............. .... 70
3.15. Физическая интерпретация ....... ............. .... 70
3.16. Теорема ..... ............. ............. .... 71
3.17. Следствие .... ............. ............. .... 71
3.18. Аппроксимация инвариантных состояний равновесными состояниями 72
3.19. Лемма ...... ............. ............. .... 72
3.20. Теорема ..... ............. ............. .... 74
3.21. Сосуществование фаз.......... ............. .... 75
Комментарии ..... ............. ............. .... 76
Упражнения ...... ............. ............. .... 77
ГЛАВА 4. Связь между гиббсовскими и равновесными состояниями 79
4.1. Основные предположения ........ ............. .... 79
4.2. Теорема ..... ............. ............. .... 80
4.3. Физическая интерпретация ....... ............. .... 81
4.4. Предложение . . ............. ............. .... 82
4.5. Замечание .... ............. ............. .... 84
4.6. Строгая выпуклость давления ...... ............. .... 85
4.7. Предложение . . ............. ............. .... 86
4.8.
ν-решетчатые системы и
ν-морфизмы ............ .... 86
4.9. Предложение . . ............. ............. .... 87
4.10. Следствие .... ............. ............. .... 87
4.11. Замечание .... ............. ............. .... 88
4.12. Предложение .. ............. ............. .... 88
4.13. Ограничение
ν на подгруппу G .... ............. .... 89
4.14. Предложение .. ............. ............. .... 89
4.15. Неразрешимость и непериодичность . . ............. .... 90
Комментарии ..... ............. ............. .... 91
Упражнения ...... ............. ............. .... 92
Стр.6
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
ГЛАВА 5. Одномерные системы .. .. ... .. .. ... .. ... 94
5.1. Лемма ...... ............. ............. .... 95
5.2. Теорема ..... ............. ............. .... 95
5.3. Теорема ..... ............. ............. .... 96
5.4. Лемма ...... ............. ............. .... 97
5.5. Доказательство теорем 5.2 и 5.3 .... ............. .... 98
5.6. Следствия теорем 5.2 и 5.3 ....... ............. .... 101
5.7. Теорема ..... ............. ............. .... 102
5.8. Перемешивающие
-решетчатые системы ............ .... 104
5.9. Лемма ...... ............. ............. .... 104
5.10. Теорема ..... ............. ............. .... 106
5.11. Трансфер-матрица и оператор L .... ............. .... 106
5.12. Функция ψ> .. ............. ............. .... 108
5.13. Предложение .. ............. ............. .... 108
5.14. Оператор S ... ............. ............. .... 109
5.15. Лемма ...... ............. ............. .... 109
5.16. Предложение .. ............. ............. .... 110
5.17. Замечание .... ............. ............. .... 110
5.18. Экспоненциально убывающие взаимодействия ......... .... 111
5.19. Пространство Fθ и связанные с ним пространства ....... .... 112
5.20. Предложение .. ............. ............. .... 112
5.21. Теорема ..... ............. ............. .... 113
5.22. Замечания .... ............. ............. .... 113
5.23. Лемма ...... ............. ............. .... 114
5.24. Предложение .. ............. ............. .... 115
5.25. Замечание .... ............. ............. .... 115
5.26. Теорема ..... ............. ............. .... 116
5.27. Следствие .... ............. ............. .... 117
5.28. Дзета-функции . ............. ............. .... 117
5.29. Теорема ..... ............. ............. .... 118
5.30. Замечание .... ............. ............. .... 121
Комментарии ..... ............. ............. .... 121
Упражнения ...... ............. ............. .... 122
ГЛАВА 6. Обобщение термодинамического формализма .. .. .
. 130
6.1. Общие понятия . ............. ............. .... 130
6.2. Разделимость точек ........... ............. .... 131
6.3. Покрытия .... ............. ............. .... 131
6.4. Энтропия .... ............. ............. .... 132
6.5. Предложение . . ............. ............. .... 133
6.6. Давление .... ............. ............. .... 133
6.7. Другие определения давления ...... ............. .... 135
6.8. Свойства давления ............ ............. .... 136
6.9. Действие τa .. ............. ............. .... 137
6.10. Лемма ...... ............. ............. .... 137
6.11. Лемма ...... ............. ............. .... 137
Стр.7
8ОГЛАВЛЕНИЕ
6.12. Теорема (вариационный принцип) . . . ............. .... 138
6.13. Равновесные состояния ......... ............. .... 141
6.14. Теорема ..... ............. ............. .... 141
6.15. Замечание .... ............. ............. .... 142
6.16. Коммутирующие непрерывные отображения .......... .... 142
6.17. Обобщение на
6.18. Результаты для
ν-действия ....... ............. .... 143
ν -действий ...... ............. .... 144
6.19. Замечание .... ............. ............. .... 145
6.20. Топологическая энтропия ........ ............. .... 145
6.21. Относительное давление ......... ............. .... 146
6.22. Теорема ..... ............. ............. .... 147
6.23. Следствие .... ............. ............. .... 147
Комментарии ..... ............. ............. .... 148
Упражнения ...... ............. ............. .... 148
ГЛАВА 7. Статистическая механика на пространствах Смейла . . 152
7.1. Пространства Смейла .......... ............. .... 152
7.2. Пример ..... ............. ............. .... 154
7.3. Свойства пространств Смейла ..... ............. .... 155
7.4. «Спектральное разложение» Смейла . . ............. .... 156
7.5. Марковские разбиения и символическая динамика ....... .... 156
7.6. Теорема ..... ............. ............. .... 157
7.7. Гельдеровские функции ......... ............. .... 158
7.8. Давление и равновесные состояния ... ............. .... 158
7.9. Теорема ..... ............. ............. .... 160
7.10. Следствие .... ............. ............. .... 160
7.11. Замечание .... ............. ............. .... 160
7.12. Следствие .... ............. ............. .... 161
7.13. Следствие .... ............. ............. .... 162
7.14. Равновесные состояния для негельдеровских функций A ... .... 162
7.15. Сопряженные точки и сопрягающие гомеоморфизмы ...... .... 163
7.16. Предложение .. ............. ............. .... 164
7.17. Теорема ..... ............. ............. .... 165
7.18. Гиббсовские состояния ......... ............. .... 165
7.19. Периодические точки .......... ............. .... 166
7.20. Теорема ..... ............. ............. .... 167
7.21. Изучение периодических точек с помощью символической динамики 168
7.22. Предложение .. ............. ............. .... 168
7.23. Дзета-функции . ............. ............. .... 168
7.24. Теорема ..... ............. ............. .... 170
7.25. Следствие .... ............. ............. .... 170
7.26. Растягивающие отображения ...... ............. .... 171
7.27. Замечания .... ............. ............. .... 172
7.28. Результаты для растягивающих отображений .......... .... 173
7.29. Марковские разбиения .......... ............. .... 174
7.30. Теорема ..... ............. ............. .... 174
Стр.8
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
7.31. Приложения .. ............. ............. .... 175
Комментарии ..... ............. ............. .... 177
Упражнения ...... ............. ............. .... 178
ГЛАВА 8. Введение в динамические дзета-функции ... .. ... 181
8.1. Подсчет периодических орбит для отображений и потоков ... .... 182
8.2. Подсдвиги конечного типа ........ ............. .... 183
8.3. Продакт-формула для отображений ... ............. .... 184
8.4. Продакт-формула для полупотоков ... ............. .... 185
8.5. Формула Лефшеца ............ ............. .... 186
8.6. Исторические замечания: от дзета-функции Римана к динамическим
дзета-функциям . ............. ............. .... 188
8.7. Свойства динамических дзета-функций ............. .... 191
8.8. Трансфер-операторы ........... ............. .... 192
8.9. Следы и определители .......... ............. .... 192
8.10. Целые аналитические функции ..... ............. .... 194
8.11. Теория Фредгольма –Гротендика .... ............. .... 195
8.12. Линейные отображения, улучшающие аналитичность ..... .... 198
8.13. Нефредгольмовы ситуации ....... ............. .... 200
8.14. Термодинамический формализм .... ............. .... 202
8.15. Связи с другими областями математики ............. .... 203
ГЛАВА 9. Кусочно-монотонные отображения .. .. ... .. ... 205
9.1. Определения .. ............. ............. .... 205
9.2. Построение новых систем ........ ............. .... 207
9.3. Функционал Θ . ............. ............. .... 218
9.4. Трансфер-оператор L .......... ............. .... 222
9.5. Дзета-функции . ............. ............. .... 229
9.6. Термодинамический формализм .... ............. .... 240
9.7. Приложение: общее определение давления ........... .... 246
Приложение A.1. Некоторые определения и результаты .. .. .
. 248
A.1.1. Порядок .... ............. ............. .... 248
A.1.2. Массивные множества ......... ............. .... 248
A.1.3. Полунепрерывность сверху ...... ............. .... 249
A.1.4. Субаддитивность ............ ............. .... 249
Приложение A.2. Топологическая динамика .. .. ... .. ... 250
Приложение A.3. Выпуклость ... .. ... .. .. ... .. ... 252
A.3.1. Общие определения .......... ............. .... 252
A.3.2. Теорема Хана –Банаха ......... ............. .... 252
A.3.3. Теоремы отделимости ......... ............. .... 253
A.3.4. Выпуклые компактные множества . . ............. .... 253
A.3.5. Крайние точки ............. ............. .... 254
A.3.6. Касательные функционалы к выпуклым функциям ...... .... 254
A.3.7. Единственность касательного функционала .......... .... 255
Стр.9
10
ОГЛАВЛЕНИЕ
Приложение A.4. Меры и абстрактные динамические системы . . 256
A.4.1. Меры на компактных множествах .. ............. .... 256
A.4.2. Абстрактная теория меры ....... ............. .... 257
A.4.3. Абстрактные динамические системы . ............. .... 258
A.4.4. Сдвиги Бернулли ............ ............. .... 258
A.4.5. Разбиения ... ............. ............. .... 258
A.4.6. Теоремы об изоморфизме ....... ............. .... 259
Приложение A.5. Интегральные представления на выпуклых компактных
множествах .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 260
A.5.1. Результант меры ............ ............. .... 260
A.5.2. Максимальные меры .......... ............. .... 261
A.5.3. Проблема единственности ....... ............. .... 261
A.5.4. Максимальные меры и крайние точки ............. .... 262
A.5.5. Симплексы мер ............. ............. .... 262
A.5.6.
ν-инвариантные меры ........ ............. .... 263
Приложение B. Нерешенные задачи .. ... .. .. ... .. ... 264
B.1. Системы условных вероятностей (глава 2) ........... .... 264
B.2. Теория фазовых переходов (глава 3) . ............. .... 264
B.3. Точка зрения абстрактной теории меры (глава 4) ....... .... 264
B.4. Одна теорема Добрушина (глава 5) .. ............. .... 265
B.5. Определение давления (глава 6) ... ............. .... 265
B.6. ГипотезаШуба об энтропии (глава 6) ............. .... 265
B.7. Условие (SS3) (глава 7) ........ ............. .... 265
B.8. Гиббсовские состояния на пространствах Смейла (глава 7) . .... 266
B.9. Когомологическая интерпретация (глава 7) .......... .... 266
B.10. Потоки Смейла (глава 7 и приложение C) ........... .... 266
Приложение C. Потоки .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 267
C.1. Термодинамический формализм на метризуемом компактном множестве
..... ............. ............. .... 267
C.2. Специальные потоки .......... ............. .... 268
C.3. Специальный поток над пространством Смейла ........ .... 268
C.4. Проблемы ... ............. ............. .... 269
Литература .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 270
Именной указатель .. .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 281
Предметный указатель .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 284
Стр.10