МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А. В. Ковалев, Т. Д. Семыкина МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧАХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ Учебное пособие Воронеж Издательский дом ВГУ 2014 1 Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 22 февраля 2014 г., протокол № 6 Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. факультета прикладной математики, информатики и механики К. П. Лазарев Учебное пособие подготовлено на кафедре теоретической и прикладной механики, факультета прикладной математики, информатики и механики ВГУ. <...> Для направления 010900 – Механика и математическое моделирование 2 ВВЕДЕНИЕ Одной из наиболее сложных задач в разделе математической теории пластичности является неодномерная упруговязкопластическая задача. <...> Сложность ее состоит в том, что граница между областью, которая перешла в пластическое состояние, и областью, деформирующейся упруго, заранее неизвестна, и ее нужно определять в ходе решения задачи. <...> Уравнения в упругой и пластической областях принадлежат к разным типам. <...> Определяющие соотношения, граничные условия, условия сопряжения теории EVP тела Рассмотрим упруговязкопластическое тело [2], механическая модель которого показана на рис. <...> Модель упругопластического тела: e, e1, p и v – индексы, обозначающие соответственно упругий, пластический и вязкий механизм Данная модель ведет себя как анизотропно упрочняющаяся упругопластическая среда. <...> Приведем основные соотношения, которые используются при описании напряженно-деформированного состояния упруговязкопластического тела в рамках теории течения [2]: 1. <...> Уравнения равновесия в напряжениях: ∇ где ная по j 0= , (1.1.1) j − компоненты тензора напряжений; ∇ − ковариантная производ-й координате. <...> Соотношения, связывающие полные, упругие и пластические <...>
Метод_возмущений_в_задачах_упругопластического_деформирования.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
А. В. Ковалев, Т. Д. Семыкина
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ
В ЗАДАЧАХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Учебное пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2014
1
Стр.1
ВВЕДЕНИЕ
Одной из наиболее сложных задач в разделе математической теории
пластичности является неодномерная упруговязкопластическая задача.
Сложность ее состоит в том, что граница между областью, которая перешла
в пластическое состояние, и областью, деформирующейся упруго, заранее
неизвестна, и ее нужно определять в ходе решения задачи. Уравнения в упругой
и пластической областях принадлежат к разным типам.
Пластические свойства материалов проявляются весьма разнообразно в
зависимости от условий работы, типа нагрузок, структуры материала и т. д.
3
Стр.3
Здесь и далее квадратные скобки обозначают разность значений выражений,
заключенных в скобки, соответствующих упругой и пластической
областям.
По индексам, повторяющимся два раза, предполагается суммирование
от 1 до 3, если не оговорено противное. Нижний индекс, стоящий после запятой,
указывает на дифференцирование по координате, соответствующей
этому индексу.
Уравнения (1.1.1)–(1.1.9) при учете условия несжимаемости
e
= 0
(1.1.10)
представляют систему уравнений, описывающих напряженно-деформированное
состояние упрочняющегося упруговязкопластического тела.
Так как в дальнейшем будем исследовать классы задач в основном в
цилиндрической и сферической системах координат, то приведем вид уравнений
равновесия (1.1.1) и формул Коши (1.1.6) в этих системах координат.
Уравнения равновесия имеют вид:
− в цилиндрической системе координат (
r , , z ):
∂∂ −++ +
∂∂ ∂
rrz
rr z
∂∂
++ +
∂∂ ∂
1 ∂
∂∂ = 0;
rz
z
rr z r
∂
− в сферической системе координат (, ,r
∂ r
∂ ⎡⎤++ +
∂∂ ⎣⎦=rr 0 ,
r 11 ()12ctg
rr r sin
∂ r
∂
r
r
−
+
+
∂∂ ∂ ⎡⎤++ +
rr r sin
∂∂ ⎣⎦= 0, (1.1.12)
−
r 11 13ctg
∂
r − ()
∂∂ ∂ ⎡⎤++ +
r 11
rr r sin
∂
Формулы Коши:
− в цилиндрической системе координат:
1
ee err r∂∂ = ∂ ,
,,
rr z
rz
∂∂
== +
uu u
∂u
z
er u
rr r
r ⎜⎟
∂∂
=+ ,
⎝⎠
11
2
⎛⎞
⎜⎟
u
6
⎛⎞
⎝⎠
∂∂r
∂∂ ⎣⎦=
r +
1 32 ctg 0.
r
):
z
rz
∂∂ ∂++ +
1
1 ∂rr 0,
r
=
rz 20r
rr z
r
=
,
(1.1.11)
αα
τθθ
τ
θ
σ
τ
θθ
τ
θ
στ
θ
θ
τθ
σσ θ
τ
στ
θ
τ
τ
σ
τσ
τ
θ
ϕ
θθ
θθ
τ
θϕ
σσ
ϕ τθϕ
θθ
ϕθ
ϕ
τσ
θθ
ϕ
θϕ
σ
τσ
ϕ
ϕ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
σϕ
θθ
ττ
ϕθ
ϕ
θ
θ
θ
Стр.6
e uu
zr
rz=+ ,
∂
1
2
z=+ ;
e rz
11
2
ee err r∂∂ ∂
⎛⎞
r== +
er u
rr r
r ⎜⎟
∂∂
=+ ,
⎝⎠
11
2
er
e
=
=
2
1
⎝
⎛
⎜
⎜
2
1
⎝
⎛
⎜
⎜
sin
r
⎝⎠
∂ ⎛ u ⎞
⎛⎞
⎜⎟
u
r r ⎜ r ⎟ +
∂ ⎛ u
∂
∂
⎜
⎝
⎜
⎝
⎟
⎠
⎜ sin
r
⎞
⎟
⎠
sin
1
⎟ +
r
∂
∂
sin
1
ur
∂∂r
⎠
⎞
⎟
⎟
,
∂u
∂
⎠
⎞
⎟
⎟
.
1.2. Плоская задача механики деформируемого твердого тела
Если решение задачи сводится к определению двух переменных в некоторой
плоской области, то такая задача называется плоской.
В МСС существуют 2 типа плоских задач:
1) плоско-деформированное состояние;
2) плоско-напряженное состояние.
Рассмотрим длинное призматическое тело, упирающееся торцами в абсолютно
гладкие и абсолютно жесткие плиты. К телу приложены массовые
и поверхностные силы, вектор которых лежит в плоскости торца. Силы
равномерно распределены вдоль оси тела.
Высказанные гипотезы дают возможность предположить, что перемещения
в декартовой системе координат x, y имеют следующий характер:
(, )
uxy ,( , )vx y , 0
w= . Отсюда следует, что поперечные сечения остаются
плоскими и при деформировании имеет место
yz
xz
xz = == = .
yz
0
(1.2.1)
Плоское напряженное состояние реализуется в тонких пластинах,
ограниченных цилиндрической поверхностью. К пластине приложены усилия,
равномерно распределенные по толщине пластины, вектор которых параллелен
плоскости пластины. В этом случае
xz = == .
yz
zz
0
7
(1.2.2)
(1.1.14)
⎛⎞
⎝⎠
∂uz
⎜⎟
∂
∂∂
rz
⎛⎞
⎝⎠
⎜⎟
∂∂
∂u
− в сферической системе координат:
∂
∂ uu
+
uu u
=
rr r 11∂u
r
r
,, ctg
sin
+
r
,
(1.1.13)
θ
θ
θθ
θϕ
θ
θ
ϕ
θθϕ
θ
θ
ϕ
θ
ϕ
ϕ
θ
θ
ϕ
θ θ
ϕ
θ
θ
θ
ϕ
εσσ
ε
σ
σσ
Стр.7
В обоих случаях плоской задачи математическая постановка сводится к
следующим соотношениям:
∂ +
∂∂ = ,
x
xy
Закон Гука в упругой области:
x 1 2 ()
xxx
=−
−
E
yy
yy 1 2()
yy
=+
−
E
xx
x 1
yxy
E
= +
,
для плоской деформации в качестве констант Е и v принимаются приведенные
константы [3].
В пластической зоне закон Гука принимается для упругих составляющих
деформаций.
В пластической зоне условие пластичности:
fF 12) = 0;
( ,,
xy xy ) =
(
,
pp p
xy
∂∂ ∂
== =∂∂ ∂
xy
Соотношения Коши для полных деформаций:
;; 1
xy 2
xy
ij =∑ , uu ij
nn
n 0
∞
=
ij
ii
n
=∑ ,
()
∞
=
1
∂∂ ⎜⎟.
uv u
∂
∂
x yy x
⎝⎠
+
∂v
∂
nn nn n
ij
() =∑ .
()
n 1
∞
=
Очевидно, ввиду линейности уравнений (1.2.3) и (1.2.4) они сохраняют
свой вид и для каждого члена разложения, поэтому для каждого члена разложения
получаем решение с помощью функции напряжений Эри:
22
nn n
r =+ =
() 11
∂∂ ∂
rr rr r∂∂∂∂∂ ⎝⎠
ΦΦ Φ
nn n
22 2
()
,, 1 ∂Φn
∂⎛⎞
r
8
() = − ⎜⎟.
r
(1.2.9)
f ff
;; .
x yxy
∂∂ ⎛⎞
== =
Представим решение в виде разложения по малому параметру:
()
(1.2.5)
и ассоциированного закона пластического течения для пластических компонент
деформаций:
(1.2.6)
(1.2.7)
(1.2.8)
,
,
(1.2.4)
∂ xy 0
∂ xy
∂∂
xy
+ ∂ = 0.
y
(1.2.3)
σ
σ
σ
σ
σ
σ
εν
ν
ε
εν
ν
σ
σσ
σ
ελ
ελ
σ
εε
σ
ε
ε
ν
σσ
σσ
λ
ε
δε
ε
δ
δσ
σσθθ
σ
θ
ε
θ
Стр.8