Приведены основные сведения о сетях массового обслуживания. <...> Если бы речь шла, в основном, об очередях в магазине и на остановке автобуса, то, вероятно, теория массового обслуживания не получила бы серьезного современного развития. <...> Главная задача, стоящая перед теорией — установить с необходимой точностью количественную связь между числом приборов обслуживания, характеристиками входящего потока требований (заявок) на обслуживание и качеством обслуживания. <...> Действительно, количество требований на обслуживание (например, число вызовов, поступающих на телефонную станцию за фиксированный промежуток времени, число пакетов, пришедших на обработку в некоторое устройство) — случайная величина. <...> Временной интервал между поступлением требований (заявок на обслуживание) — случайная величина. <...> И, наконец, время обслуживания каждой заявки — также случайная величина. <...> Основные элементы системы массового обслуживания Входящий поток — совокупность требований на обслуживание, поступивших в систему за определенный интервал времени. <...> В заключение подчеркнем еще раз, что под качеством обслуживания в теории массового обслуживания понимается не то, как хорошо выполнена технологическая операция (бритьё, качество ремонта и др.), а как хорошо организовано обслуживание, насколько полно загружены приборы, не создаётся ли большая очередь, велик ли уход необслуженных требований. <...> 1 Математические понятия, используемые в теории массового обслуживания Теория массового обслуживания целиком и полностью базируется на методах теории вероятностей. <...> К понятию дискретной случайной величины можно прийти, если поставить во взаимно однозначное соответствие каждому событию некоторое действительное число xk, k = 1, 2, . . .n, где n — возможное число событий. <...> Полный набор Pk этих вероятностей характеризует закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. <...> Для любой случайной величины ξ интегральная функция распределения <...>
Основы_теории_массового_обслуживания._Учебник_для_вузов_(1).pdf
УДК 621.391
ББК 22.18я73
К27
Р е ц е н з е н т : Заслуженный работник связи Российской Федерации,
канд. техн. наук, профессор
Карташевский В. Г.
К27 Основы теории массового обслуживания. Учебник для
вузов. – М.: Горячая линия–Телеком, 2013. – 130 с: ил.
ISBN 978-5-9912-0346-3.
Освещены основы теории массового обслуживания, знание
которых необходимо для современного представления о
процессах обслуживания сообщений в телекоммуникационных
и вычислительных сетях. Рассмотрены потоки заявок
на обслуживание, при условии, что структура потока носит
случайный характер. Особое внимание уделено пуассоновскому
потоку событий. Рассмотрены потоки, обладающие
свойствами самоподобия. Проанализирована работа устройств
массового обслуживания (в обозначении Кендалла)
типа М/М/1, M/G/1, G/M/1 и их модификаций. Рассмотрены
системы с относительными приоритетами обслуживания.
Рассмотрено интегральное уравнение Линдли. Приведены
основные сведения о сетях массового обслуживания.
Для студентов вузов, обучающихся по направлению
210700 – «Инфокоммуникационные технологии и системы
связи».
22.18я73
Учебное издание
Карташевский Вячеслав Григорьевич
Основы теории массового обслуживания
Учебник для вузов
Редактор Ю. Н. Чернышов
Компьютерная верстка Ю. Н. Чернышова
Обложка художника О. В. Карповой
Подписано к печати 15.06.13. Формат 60×88 1/16. Усл. печ. л. 8,125. Изд. № 13346. Тираж 500 экз. (1-й завод 100 экз.)
ISBN 978-5-9912-0346-3
© В. Г. Карташевский, 2013
© Издательство «Горячая линия–Телеком», 2013
А. П.
П
ш
еничник
о
в
А
д
р
ес и
з
д
а
тел
ь
с
т
ва
в И
н
тер
н
ет WWW
.
TECH
BOOK
.
RU
Стр.2
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел 1. Математические понятия, используемые в теории
массового обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Определение вероятности и основные соотношения. . .
1.2. Биномиальная формула. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
6
6
8
1.3. Функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . 13
1.5. Дельта-функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. Характеристическая функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7. Производящая функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Неравенство Чебышева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Теорема Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Раздел 2. Потоки событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Закон распределения интервала времени, на который
падает точка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Закон распределения времени до наступления очередного
события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Пуассоновский поток событий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5. Вывод формулы Пуассона через производящую функцию
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6. Другие стационарные потоки Пальма. . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Регулярный поток. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Нормальный поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Поток Эрланга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Предельная теорема для суммарного потока. . . . . . . . 49
Предельная теорема для редеющего потока. . . . . . . . . 50
2.7. Потоки с последействием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Понятие фрактала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Самоподобные модели трафика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Взаимосвязь различных моделей трафика . . . . . . . . . . 64
Стр.129
130
Оглавление
Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Раздел 3. Анализ систем массового обслуживания. . . . . . 70
3.1. Классификация систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2. Система обслуживания М/М/1/∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Вероятность блокировки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3. Формула Литтла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4. Системы обслуживания, зависящие от состояний. . . . . 83
Система M/M/2/∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Система М/М/∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Система с «нетерпеливыми» заявками . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5. Система обслуживания M/G/1/∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.6. Упрощенный вывод формулы для E(n) M/G/1/∞. . . 102
3.7. Система обслуживания G/M/1/∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.8. Системы обслуживания с относительными приоритетами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Система M/M/N/0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Система М/М/m/∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.9. Система обслуживания G/G/1/∞. Уравнение Линдли 113
Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Раздел 4. Сети массового обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1. Основные определения сетей массового обслуживания 120
4.2. Уравнения локального баланса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3. Метод анализа средних значений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Стр.130