ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ
СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
Методическое пособие для вузов
Составители:
Н.Б. Баева,
Д.В. Ворогушина
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
1
Стр.1
Содержание
§1. Основы проектирования систем…………………………………………...4
1.1. Основные понятия и факты. Простейший описатель системы…..4
1.2. Функционирование целевых систем: понятие, описатели,
примеры………………………………………………………………....13
1.3. Динамические системы: сущность, структура, классификация,
способы описания. Система как черный ящик………………………………18
§2. Управление сложными экономическими объектами...…………………..28
2.1. Понятие сложности. Сложные системы………………………......28
2.2. Управление сложными системами. Типы управления…………...28
2.3. Основная формула теории управления с обратной связью и ее
приложения. Мультипликатор Кейнса…………………………………31
§3. Моделирование экономических процессов как основа эффективной
организации сложных систем………………………………………………….37
3.1. Основные понятия и факты………………………………………...37
3.2. Модели формирования оптимального ассортимента……………43
3.3. Типовые модели процессов смешивания………………………….51
3.4. Модели оптимального раскроя материала………………………..59
Литература………………………………………………………………………66
3
Стр.3
Структура системы имеет вид
⎛
=
где
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
ij =
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 0 0
⎩
⎨
⎧
0,
1,
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
если возможен переход из i го элемента в j тый
иначе
−
−
Т.о. система образования в России описана. Очевидно, что элементы
сами являются крупными системами. Так дошкольное воспитание состоит из
яслей, детского сада; школа включает в себя начальную школу, среднюю (до
9 класса), высшую (10-11 класс) и т.д. Т.е. выделенные элементы можно
рассматривать как подсистемы. Более детальное описание системы имеет
вид.
S E R Ст E R
10
=<
, ,
e -высшая школа, e -колледж, e - бакалавриат, e - магистратура, e -
E e={ } =ii
5
1 , где 1e - ясли, 2
6
e - детский сад, 3
7
специалисты.
Связи представлены на рисунке.
e - начальная школа, 4
8
e - средняя,
9
( , ) >
Матрица, описывающая структуру системы, выписывается по графу,
аналогично рассмотренному выше случаю.
Пример 2.
Опишем
с
помощью
простейшего
описателя
систему,
соответствующую модели Леонтьева. Пусть i -порядковый номер «чистой»
отрасли, производящей продукт, j - потребляющий продукт (
1,n
x - валовой выпуск i -ой отрасли;
j
i
y -конечный продукт j-ой отрасли;
i j, = ). Под
«чистой» понимается отрасль, выпускающая(потребляющая) один
единственный продукт. Обозначим через
6
δ
δ
Стр.6
a -количество (в стоимостном выражении) продукции i -ой отрасли,
ij
необходимое для выпуска единицы продукции j-ого вида. Тогда модель
Леонтьева может быть записана в следующем виде
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎨
⎧
∑ + =
=
n
j 1
j
a xj
ij
yi
x > 0, j =1,n
В матричном виде:
⎩
(E A X Y ,
)
−
X > 0
здесь A a= ( )ij
- матрица коэффициентов прямых затрат,
⎛
валовых выпусков, Y ...
=
⎜
⎝
⎜
⎜
y
y
n
1 ⎞
⎟
⎠
⎟
⎟
- вектор конечного продукта, E - единичная
матрица порядка n.
Элементами в данной задаче будут отрасли
коэффициентами прямых затрат ija : a
j , a
= )(
ij n n×
,
ij =
⎩
⎨
⎧
0,
Пример 3.
Составим простейший описатель системы, заданной оптимизационной
задачей. Рассмотрим для простоты задачу линейного программирования,
f x = + →x2 2
3x1 + ≤2x
( )
Ω
x
x
x1
13
x1 + ≤x2 4
1 1≥
2 2≥
(3)
(4)
Решим задачу графически.
Построим допустимое множество задачи Ω (точки данного множества
удовлетворяют всем ограничениям). Найдем полуплоскость, заданную
первым неравенством. Для этого построим прямую
3x1 + =2x
прямая проходит через точки 1A , A 2
7
13. Данная
max
(1)
(2)
a
a
ij
ij
=
>
0
0
.
E = {1,.., }n . Связи определяются
ij > 0 - элемент i связан с элементом
ij = 0 - связи между элементами нет. Структура задается матрицей
1,
X ...
1
=
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
x
x
n
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
- вектор
=
x i =
i , 1,n
.
δ
δ
δ
Стр.7
3x1 + =2x
A 1
A 2
13
x 1
3
4
x 2
4
1
Точка (0,0) удовлетворяет неравенству (1) (0≤13), принадлежит искомой
плоскости, значит, полуплоскость под прямой задается неравенством (1)
Аналогично строим области заданные неравенствами (2)-(4). Т.о.
построено множество Ω. Допустимое множество - ABCΔ
, с вершинами
A = (1,2 ), B = (1,3 ) , C = (2,2 ) .Найдем максимальное значение функции цели
f на данном множестве. Для этого построим любые две линии уровня
функции f (линии уровня задаются уравнениями
2
=
например, x + x = 0 и x + x = 2(т.е. C = 0, =C ). Таблицы точек для
построения прямых
x + x = 0
1 2 2
1 2 2
A 1
A 2
x 1
x 2
0 0
-2
1
1 2 2
x + x = 2
A 1
1 2 2
A 2
x 1
0
2
x 2
1
0
Из рисунка видно, что при увеличении константы С, прямая
двигается вверх. Параллельным переносом будем сдвигать прямую f x C=)(
f x C=)(
до последней точке пересечения с множеством Ω. Решением задачи является
точка
множестве f = xf ( ) 9*
x = =B
*
*
2
1
.
множества E A={ (1,2),B(1,3), (2,2 )}C
1
2
Ст {x x2
1
, связи задаются всеми неравенствами
2} {(1) (4 )}
−
(1,3 ) , максимальное значение функции цели на допустимом
=
В данной задаче элементами являются вершины допустимого
R ={3x x+ ≤13, x x+ ≤ 4, x1 ≥1, x1 ≥1, x2 ≥ =
А структура системы – граница допустимого множества, т.е. неравенства,
участвующие в образовании граничных точек ((2)-(4)), записываемые как
равенства.
= + = 4, x1 = 2, x2 =1 }.
Т.о. построен простейший описатель системы (1)-(4).
Пример 4. Рассмотрим случай, когда описывается как система многомерная
задача линейной оптимизации. Аналогично с предыдущем примером
элементами будут вершины допустимого
множества, связями – все
8
f x( ) = const C),
Стр.8