Григорьев Cкаляризация векторных краевых задач гидродинамики Ярославль 2010 УДК 532.5:537.1 ББК В 253.3 Ш 64 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве научного издания. <...> План 2009/10 года Рецензенты: доктор физ. – мат. наук, доцент В. А. Коромыслов; кафедра прикладной математики и вычислительной техники Ярославского государственного технического университета Ш 64 Ширяева, С. О. Скаляризация векторных краевых задач гидродинамики: монография / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев; Яросл. гос. ун-т им. <...> ISBN 978-5-8397-0761-0 Книга посвящена описанию и применению эффективного метода решения векторных краевых задач гидродинамики вязкой жидкости, основанного на представлении искомого векторного поля в виде суперпозиции трех более простых векторных полей: одного потенциального и двух вихревых, получаемых действием трех взаимно ортогональных векторных дифференциальных операторов на три различных скалярных поля, задача отыскания которых существенно проще исходной. <...> Эта характерная особенность векторных краевых задач особенно наглядно проявляется, когда граничные условия требуют применения криволинейных координат, хотя бы и ортогональных, орты которых не являются постоянными в пространстве векторами. <...> Если по каким-либо причинам векторное поле является потенциальным, т. е. его векторный потенциал равен нулю (а это реализуется в достаточно широком классе физических задач), то краевая задача для векторного поля сводится к скалярной для его скалярного потенциала. <...> Имея в виду цель выражения искомого векторного поля через три скалярных, можно утверждать, что в общем случае одним из скалярных полей, определяющих векторное поле, может быть скалярный потенциал. <...> Тогда два других скалярных поля должны единственным образом определить векторный потенциал. <...> 3 Если в решаемой краевой задаче имеется симметрия по одной из координат, например: а) отсутствует проекция векторного поля на ось, соответствующую <...>
Скаляризация_векторных_краевых_задач_гидродинамики_монография.pdf
Министерство образования Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
С. О. Ширяева
А. И. Григорьев
Cкаляризация
векторных краевых задач
гидродинамики
Ярославль 2010
Стр.1
УДК 532.5:537.1
ББК В 253.3
Ш 64
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2009/10 года
Рецензенты:
доктор физ. – мат. наук, доцент В. А. Коромыслов;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники Ярославского
государственного технического университета
Ш 64
Ширяева, С. О. Скаляризация векторных краевых задач гидродинамики:
монография / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев; Яросл.
гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2010. – 180 с.
ISBN 978-5-8397-0761-0
Книга посвящена описанию и применению эффективного метода
решения векторных краевых задач гидродинамики вязкой жидкости,
основанного на представлении искомого векторного поля в
виде суперпозиции трех более простых векторных полей: одного
потенциального и двух вихревых, получаемых действием трех взаимно
ортогональных векторных дифференциальных операторов на
три различных скалярных поля, задача отыскания которых существенно
проще исходной.
Монография адресована научным сотрудникам, преподавателям
и студентам университетов и технических вузов.
При написании пособия авторы имели поддержку грантов:
Рособразования № РНП 2.1.1/3776 и РФФИ
(№ 09-01-00084 и № 09-08-00148).
УДК 532.5:537.1
ББК В 253.3
ISBN 978-5-8397-0761-0
Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2010
2
Стр.2
Оглавление
1. Введение ......................................................................................... 3
2. Скаляризация векторных краевых задач
линейной гидродинамики ............................................................ 5
3. Линейные осцилляции капли вязкой жидкости .................. 10
4. Осцилляции и устойчивость заряженной капли
вязкой жидкости ......................................................................... 14
4.1. Равновесная форма капли ...................................................... 15
4.2. Линеаризация задачи .............................................................. 16
4.3. Скаляризация уравнений ........................................................ 21
4.4. Скаляризация граничных условий ........................................ 26
4.5. Решение скаляризованной задачи ......................................... 29
4.6. Приближение идеальной жидкости ...................................... 39
4.7. Асимптотика маловязкой жидкости ..................................... 42
4.8. Асимптотика сильновязкой жидкости .................................. 44
4.9. Определение неизвестных коэффициентов 1
4.10. Решение задачи для функции 2
C и 3
lm
C ........ 48
lm
(, )rt
, определяющей
4.11. Определение вида проекций векторного поля скоростей
(, )
тороидальное вихревое движение внутри капли ................ 50
ur t на орты сферической системы координат ............... 51
Приложение 4А. Математическая формулировка задачи
о колебаниях заряженной капли вязкой несжимаемой
жидкости .................................................................................... 53
Приложение 4Б. Уравнения движения вязкой несжимаемой
жидкости и граничные условия к ним ...................................... 55
177
Стр.177
Приложение В. Разложение векторного поля скоростей
на сумму трех независимых векторных полей.
Скаляризация линейных векторных
дифференциальных уравнений ................................................... 63
Приложение Г. Выбор векторных дифференциальных
операторов j
N
для задачи о колебаниях поверхности
заряженной капли вязкой несжимаемой жидкости ............... 72
Приложение Д. Вычисление выражений
вида (, ).
ee u r t
ij
.................................................................... 82
Приложение Е. Вычисление давления электрического поля
собственного заряда капли на ее свободную поверхность .... 86
Приложение Ж. Вычисление давления сил поверхностного
натяжения на искривленную поверхность жидкости ........ 101
Приложение З. Преобразование динамических граничных
условий на свободной поверхности жидкости для
касательных компонент тензора напряжений в задаче
отыскания скалярных функций 12
rt rt
( , ), ( , ),
3
Приложение И. Разделение переменных в уравнениях
для скалярных функций ()i
(, )rt
... 103
r
. ................................................. 112
Приложение К. Вычисление второй производной
по аргументу от модифицированной функции Бесселя ()l
ix 114
Приложение Л. Получение дисперсионного уравнения .......... 115
Приложение М. Разложение в степенной ряд при малых
значениях аргумента отношения сферических функций
Бесселя ....................................................................................... 117
5. Об устойчивости по отношению к поверхностному заряду
мениска жидкости на торце капилляра ............................... 119
5.1. Формулировка и линеаризация задачи ............................... 121
5.2. Скаляризация задачи ............................................................ 123
178
Стр.178
5.3. Преобразования динамических граничных условий
для касательных компонент тензора напряжений ............. 127
5.4. Вывод и анализ дисперсионного уравнения ...................... 129
6. Неосесимметричные колебания заряженной
поверхности струи электропроводной жидкости ............... 131
6.1. Постановка задачи ................................................................ 131
6.2. Равновесная форма струи ..................................................... 135
6.3. Линеаризация задачи ............................................................ 136
6.4. Скаляризация задачи ............................................................ 143
6.5. Получение дисперсионного уравнения .............................. 146
7. Капиллярно-гравитационное волновое движение
в заряженном слое вязкой электропроводной жидкости
на твердом дне ........................................................................... 150
8. Пограничный слой у свободной поверхности
осциллирующей заряженной капли вязкой жидкости ...... 159
Литература ..................................................................................... 174
179
Стр.179