Ширяева Векторный анализ в ортогональных криволинейных координатах Учебное пособие Ярославль 2010 УДК 530.1:51–72 ББК В151.5я73 Г 83 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. <...> В. А. Коромыслов; кафедра прикладной математики и вычислительной техники Ярославского государственного технического университета Григорьев, А. И. Векторный анализ в ортогональных криволиГ 83 нейных координатах: учеб. пособие / А. И. Григорьев, С. О. Ширяева; Яросл. гос. ун-т им. <...> Изложение ведется в евклидовом пространстве таким образом, чтобы дать читателю с минимальной математической подготовкой представление о пространственной кривой, скалярном, векторном и тензорном полях, правилах употребления оператора «набла» при бескоординатной записи физических выражений, использовании координатной формы записи линейных и квадратичных дифференциальных выражений в ортогональных криволинейных координатах, основах тензорной алгебры, записи и использовании дифференциальных векторных операций первого и второго порядков в тензорной форме. <...> Дифференциалом векторной функции B от скалярного аргумента t называется произведение производной этого вектора по его аргументу на дифференциал аргумента: dB B dtt B t dB . <...> Дифференциал векторной функции – вектор, направленный по касательной к годографу. <...> Производная от радиус-вектора по дуге ds 5 dr текущей точки . <...> 3 (если существуют ее производные до n-го порядка включительно) может быть разложена в ряд Тейлора: Bi ! n n t n t ; dr t ds где – орт касательной. <...> Соприкасающейся плоскостью в данной точке M кривой называется предельное положение плоскости, проходящей через касательную в данной точке M и точку, бесконечно близкую к точке M. <...> Следствие: Соприкасающаяся плоскость плоской кривой совпадает с плоскостью, в которой лежит данная кривая. <...> Найдем производную от орта касательной по дуге: ds d . <...> Производная от орта касательной <...>
Векторный_анализ_в_ортогональных_криволи-_нейных_координатах_Учебное_пособие.pdf
Министерство образования Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
А. И. Григорьев
С. О. Ширяева
Векторный анализ
в ортогональных
криволинейных координатах
Учебное пособие
Ярославль 2010
Стр.1
УДК 530.1:51–72
ББК В151.5я73
Г 83
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009/10 года
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Коромыслов;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета
Григорьев, А. И. Векторный анализ в ортогональных криволиГ
83
нейных координатах: учеб. пособие / А. И. Григорьев, С. О. Ширяева;
Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2010. –
132 с.
ISBN 978-5-8397-0760-3
Пособие предназначено для студентов физических специальностей
университетов. Изложение ведется в евклидовом пространстве
таким образом, чтобы дать читателю с минимальной математической
подготовкой представление о пространственной кривой, скалярном,
векторном и тензорном полях, правилах употребления оператора
«набла» при бескоординатной записи физических выражений,
использовании координатной формы записи линейных и квадратичных
дифференциальных выражений в ортогональных криволинейных
координатах, основах тензорной алгебры, записи и
использовании дифференциальных векторных операций первого и
второго порядков в тензорной форме.
При написании учебного пособия
авторы пользовались поддержкой грантов Рособразования
№ РНП .2.1.1/3776, РФФИ № 09-01-00084-а и № 09-08-00148-а.
УДК 530.1:51–72
ББК В151.5я73
ISBN 978-5-8397-0760-3
Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2010
2
Стр.2
Оглавление
Глава 1. Элементы дифференциальной геометрии .................................................. 3
§1. Дифференцирование векторных функций .......................................... 3
§2. Дифференциальная геометрия линии в пространстве .................... 5
§ 3. Ортогональные криволинейные координаты ................................. 12
§ 4. Общее рассмотрение криволинейных координат .......................... 17
Глава 2. Векторный анализ в ортогональных криволинейных
системах координат ................................................................................. 22
§ 1. Градиент. Производная по направлению ........................................ 22
§ 2. Циркуляция векторного поля по кривой .......................................... 27
§ 3. Уравнение векторной линии ............................................................. 29
§ 4. Поток векторного поля .................................................................... 30
§ 5. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского ............................. 32
§ 6. Ротор. Теорема Стокса ................................................................... 40
§ 7. Оператор Лапласа скалярного поля ................................................ 48
§ 8. Векторные дифференциальные операции
второго порядка от векторных функций ..................................... 49
Глава 3. Бескоординатная форма записи операций векторного анализа .............. 51
§ 1. Оператор Гамильтона – «набла».
Дифференцирование по радиус-вектору ....................................... 51
§ 2. Применение оператора «набла» к произведениям
скалярных и векторных функций ................................................... 54
§3. Производные по направлению скалярной
и векторной функций ....................................................................... 59
§ 4. Континуальная производная ............................................................ 61
§ 5. Векторные дифференциальные операции
второго порядка от векторных функций ..................................... 69
§ 6. Интегрирование полей. Формулы Грина ......................................... 70
§ 7. Обобщенная формула Остроградского .......................................... 73
§ 8. Инвариантность и ковариантность физических законов ........... 81
§ 9. Тензор-производная ........................................................................... 84
Глава 4. Тензорная алгебра ........................................................................................ 86
131
Стр.131
§ 1. Правила преобразования ортонормированного базиса ................. 86
§ 2. Тензорное определение вектора и скаляра ..................................... 90
§ 3. Определение тензора ........................................................................ 92
§ 4. Сложение тензоров. Умножение тензора
на вещественное число. Тензорное
произведение тензоров .................................................................... 97
§ 5. Свертывание тензора ....................................................................... 99
§ 6. Симметричные и антисимметричные тензоры ......................... 104
§ 7. Псевдотензоры ................................................................................ 108
§ 8. Свойства тензора Леви-Чивита ................................................... 111
§ 9. Тензорные поля. Тензорная запись
дифференциальных векторных операций ................................... 117
§ 10. Тензор производная. Деформация и ротация
векторного поля ............................................................................. 119
§ 11. Ковариантные и контравариантные компоненты тензоров.
Ковариантное дифференцирование ............................................. 122
Рекомендованная литература ................................................................................... 129
Учебное издание
Григорьев Александр Иванович
Ширяева Светлана Олеговна
Векторный анализ
в ортогональных криволинейных координатах
Редактор, корректор Л. Н. Селиванова
Верстка И. Н. Иванова
Подписано в печать 25.06.10. Формат 6084 1/16. Бум. офсетная.
Гарнитура "Times New Roman". Усл. печ. л. 7,67. Уч.-изд. л. 5,88.
Тираж 50 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе Ярославского
государственного университета им. П. Г. Демидова.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано на ризографе.
ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.
Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37
тел. (4852) 73-35-03, 58-03-48, факс 58-03-49.
132
Стр.132