Казанский институт (филиал)
Российского государственного торгово-экономического университета
Кафедра информатики и высшей математики
Талызин В.А.
МАТЕМАТИКА-2
Методические рекомендации к выполнению
контрольной работы №2
для студентов 1-го курса заочного отделения
Казань - 2003
Стр.1
Тема 1. Система линейных уравнений
В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид
a x a x
1 ,
11,
1 ,
amn
11 1
21 1
a x a x22 2 a x j a x b ,
...
12 2 a x j a x b ,
2 j
...
...
m1 1 m2 2
xn
...
1 j
...
...
...
1n n 1
2n n 2
a x a x a xmj j a x b .
mn n m
Через x x2 ,..., обозначены неизвестные, подлежащие определению, величины
a a12 ,..., , называемые коэффициентами системы, и величины b b1 2 ,...,bm , называемые
,
свободными членами, считаются известными. Решением системы (1) называют такую совокупность
n чисел c c
1 2, ,..., , которая при подстановке в систему (1) на место неизвестных
cn
x x2 ,..., обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений (1) либо не имеет
xn
решения, либо имеет единственное решение, либо имеет бесчисленное множество решений.
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если решение одной из них
является решением другой и наоборот. Коэффициенты системы образуют матрицу, которую
называют основной матрицей системы
A
a11
a21
.
am1
a12
a22
.
am2
.
.
.
.
a
1
a2
.
n
n
amn
.
Если m n , то матрица A является квадратной и ее определитель A называется
определителем системы. Если определитель квадратной системы уравнений 0, то система
имеет единственное решение, определяемое по формулам, называемых формулами Крамера:
j
x
j
, j 1, , ,...,n.
2 3
Здесь - определитель системы, j
2 3
3
1 4
( )
бец свободных членов
1
1
1
1 2
1
2
3
1
3
определитель матрицы, получаемой из матрицы
A заменой j го столбца столбцом ее свободных членов.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений
2x1 3x 1
3x1 x 1
x1 x 2.
2
x2
4 2
Решение. Найдем определитель системы
1
1 3
2 4
1
1 2
1
1( 1)( 1 3 2 2 1 1 4 2( 1 1
)
Аналогично находим определители 2
,
1 2 4 1 12 4 2 3 8 14.
3 :
)
( 1 1 3
)
4 2 2 3 3 1 2 6 12 1 16 9 14.
Далее вычислим определитель 1
x3
2 3
x3
,
,
(1)
= 2 1( ) ( )1 3 2 1 1 3 4 1 1 1
4
( )
, заменив первый столбец матрицы системы на стол
Стр.2
2
1
2 1 1
3 1 2
1 2
14
14 1
, x2
0,
3
1
2
14 0, x3
0
2 3 1
3
1 4 2
Отсюда по формулам Крамера находим решение системы
x1
3
14
14
1.
Общую систему линейных уравнений вида (1) можно решить методом Гаусса - методом
последовательного исключения неизвестных. Исключение неизвестных методом Гаусса удобно
выполнять, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов,
к которой справа добавлен столбец свободных членов
A1
a11
a21
.
am1
a12
a22
.
am2
.
.
.
.
a1
a2
.
a
n
n
b
b
mn m
b
. .
1
2
Полученную матрицу A1 называют расширенной матрицей системы.
Элементарными преобразованиями строк матрицы называют:
1. Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.
2. Перестановка строк матрицы.
3. Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных
на общее произвольное число.
строк основную матрицу системы A привести к ступенчатому (или треугольному) виду. Если
вернуться к уравнениям, то это означает, что неизвестная x1
Метод Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований
содержится только в первом
уравнении, неизвестная x2
- только в первом и втором уравнении и т. д. Таким образом, неизвестные
системы частично исключаются из исходных уравнений системы, а полученная новая
система уравнений является эквивалентной исходной системе. Рассмотрим решение методом
Гаусса на примерах.
Пример 2. Решить систему уравнений
4x1
3x1 x 5,
x1
2 2
x2
x2
x3
3
1
1 1
4
a11
1
1 5
1
5
0
3
1 1
4
1
1 5
5
0
3
x3
0,
5x 3.
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
3 2
(3)
Поменяем местами первую и вторую строку в матрице (3), чтобы получить
1 (в этом случае упрощаются последующие вычисления).
3 2
~ 3 2
4
1 1
1
1
1 5
0
5
3
(4)
Символ “~” обозначает эквивалентность матриц. Умножим первую строку полученной
матрицы (4) на число (-3) и прибавим соответственно к элементам второй строки, далее первую
строку матрицы (4) умножим на число (-5) и прибавим к элементам третьей строки этой матрицы.
В результате получим матрицу, которой соответствует система уравнений, содержащая неизвестную
x1
только в первом уравнении
(2)
1 1 14.
Стр.3
1 1
3 2
4
Так как в матрице (5) a22
1 1
0
0
исходной системе (2)
x1 0,
x2
x2
3
x3
x 5,
x 2.
4 3
Отсюда из третьего уравнения получаем x3
второе уравнение, определяем неизвестную x2
x2
:
x 3,
5 4 3
неизвестную x1
x
x3
3 2
1 1, x2 3, x3 2.
Пример 3. Решить систему уравнений
4
~
~
1
1
1 1
1
1 1
0
0
0
4
2 1
5 7
4 3
1 4
1 1
0
0 0
0 0
1 4
5
0
5
2 1
13 20
13 20
x
x
4x1 3x2 x 2.
1 x 1
1 3x 0
x4
x1 1
x2
x2
2
x3
2 3
x3
4 3
Решение. Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы (7)
4
1
3 1
4 3
2 1
1
1
1
1
0
2
1
3
1
2
7
7
5 2
~
1
~
~
1 1
4
1
1
4 3
1 1
0
0
0
3 1
4
1 4
4 3
5 7
1 1
0
0 0
0 0
1 4
2 1
1
1
1
2 1
1
1
1
0
2
5
0
5
2 1
13 20
0
0
~
1
2
1
3
5 2
7
0
~
1
.
Расширенная матрица, полученная на последнем шаге путем вычитания из элементов
четвертой строки соответствующих элементов третьей строки, содержит нулевую строку и
имеет ступенчатый вид. Отсюда следует, что исходной системе уравнений эквивалентна система
из трех уравнений с 4 неизвестными
x4
x4
x4
,
,
,
5 4 2
Наконец, после подстановки найденных значений x x2
x2
, в первое уравнение, находим
x2
3
: x1 1. Таким образом, решение системы единственное:
3.
2. Подставляя найденное значение x3
во
1
1 4
5 9
0
5
3
1
1
1 5
0
5
3
~
1 1
0
0
1
1 4
5 9
0
5
3
.
(5)
1 , то, умножая вторую строку этой матрицы на число (-5)
и прибавляя ее к третьей строке, получим основную матрицу треугольного вида. Для упрощения
разделим элементы последней строки на число (-11):
~
1 1
0
0 0
1
1 4
11
0
5
22
~
1 1
0
0 0
1
1 4
1
0
5
2
(6)
Расширенной матрице (6) соответствует следующая система уравнений, эквивалентная
(7)
Стр.4
Неизвестную x4
Отсюда определяем
x
x
1
1 x x4
x4
ство решений системы
x1
3 13
x2
Задавая переменной x4
2 3
1
12C x2
1
13
,
x
x 5x 2
13 3x 20x 7.
4 3
4
4
перенесем в правые части уравнений
x
x x
13 3x 7 20x .
4 3
4 3
1 x x4
x2
x2
2 3
1
2 5 4
4
,
,
20 4x , x2 x x
7
2 5 4
15x4
2
13
13
, x3
мы привелось к неверному равенству 0 x 0 1.
1
0 x3
0 x4
0 0 0 01 . Тогда соответствующее уравнение систе0
x2
15x4 ,
2
13
40x4
14
13
произвольное значение x C4
15C 2
20C 7
13
4
12x4 .
1
13
, найдем бесконечное множе,
x C.
Если расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду, когда в нулевой
строке основной матрицы свободный член отличен от нуля, то система не имеет решения.
Например, последняя строка имеет вид
Пример 4. Предприятие выпускает три вида товаров, при производстве которых используется
три типа ресурсов: рабочая сила, сырье, оборудование. Нормы расхода каждого из них
(в условных единицах) на производство единицы каждого товара и объем ресурсов на 1 день
заданы таблицей 1.
Таблица 1
Вид
ресурсов
Рабочая сила
Сырье
Оборудование
1 ,
1 вид
1
3
2
2 ,
Норма расхода ресурсов
на производство ед. товара
2 вид
1
2
1
Найти ежедневный объем выпуска каждого товара.
Решение. Пусть x x x
2 ,
3:
Объем
3 вид
2
4
3
ресурсов
на 1 день
800
1700
1100
Тогда в соответствии с нормами расхода ресурсов каждого типа имеем систему линейных
уравнений, содержащих неизвестные x x x
Решим ее методом Гаусса.
1 1 2
3 2 4
2 1 3
800
1700
1100
x
3x1 x x 1700,
2x1 3x 1100.
1 x 800,
2 2
x2
x2
2 3
4 3
3
~
1 1
0
0
2
1
1
2
1
800
700
500
~
1 1 2
0 1 2
0 0 1
800
700
200
Отсюда находим x1 100, x2 300, x3 200, т.е. предприятие ежедневно выпускает 100
ед. товаров 1-го вида, 300 ед. товаров 2-го вида и 200 ед. товаров 3-го вида.
3 - ежедневный выпуск соответственно товаров 1,2 и 3-го вида.
1,
1 x 1
x2
x2
2 3
x4
,
,
Стр.5