ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2007. Т. 48, NУДК
533.9
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
ИОННО-ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ: ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ
А. Е. Дубинов
Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики,
607188 Саров
E-mail: dubinov@rol.ru
Получено точное решение задачи о структуре ионно-звуковой волны в плазме. При этом
оба компонента плазмы рассматриваются как газы с заданными начальными температурами
и показателями адиабаты. Система уравнений, описывающих профиль волны,
решена с помощью оригинального метода, состоящего в сведении ее к уравнению Бернулли.
Приведен численный пример полученного общего решения задачи о профиле волны
при произвольных параметрах. Построены кривые, ограничивающие в пространстве
параметров область существования стационарной уединенной ионно-звуковой волны.
Ключевые слова: плазма, ионно-звуковая волна, нелинейная теория.
Введение. Распространение ионно-звуковых волн, являющееся одним из основных
волновых процессов в плазме, изучается на протяжении нескольких десятилетий. Нелинейная
теория этих волн впервые рассмотрена в работах [1, 2], в которых методом механической
аналогии (в иностранной литературе — методом псевдопотенциала) изучены их
основные особенности. Установлено, что стационарные волны могут существовать в виде
периодической или уединенной волны, причем скорость волны ограничена сверху значением,
приблизительно в 1,58 раза превышающим скорость линейного ионного звука. В работе
[3] найдено точное выражение для предельной скорости. При этом в [1–3] считалось, что
ионный компонент плазмы холодный, а электронный — изотермичен и безынерционен.
В дальнейшем нелинейная теория была развита в многочисленных работах, в которых
учитывались влияние ионной температуры, наличие двух и более сортов ионов, в том
числе отрицательных, наличие двух групп электронов с различной температурой, инерция
электронов и т. п. (подробнее об этом см. [4]).
В перечисленных и большинстве других работ считалось, что нагретые компоненты
плазмы вовлекаются волной в изотермический процесс, т. е. их температура постоянна.
Такое упрощение оставляет открытым вопрос о внешнем источнике или стоке тепловой
энергии, поскольку изотермический процесс обязательно сопровождается поступлением
энергии при сжатии потока плазмы и выделением энергии при его разрежении.
Таким образом, при описании нелинейных волн в плазме более реалистичными являются
модели, в которых процесс считается адиабатическим. Такой подход позволяет
учесть изменение температуры в различных фазах волны, а также влияние этого изменения
на формирование и свойства самой волны.
В последнее время газодинамический подход используется для изучения ионнозвуковых
и пылезвуковых волн [5–8]. В работах [5–8] проведен анализ нелинейных уравнений,
описывающих структуру волн, в рамках адиабатического подхода, когда ионный
или пылевой компонент плазмы представляет собой газ. При этом уравнение состояния
газа принимается в виде адиабаты с произвольным показателем γ+ в диапазоне γ+ ∈ [1; 3].
◦ 5
3
Стр.1
4
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2007. Т. 48, N◦
5
В результате анализа определены границы режимов и предельные скорости волны. Однако
в [5–8] не было получено общее точное решение задачи о профиле волн (как известно,
анализ свойств решения можно проводить, не решая сами уравнения), хотя в работе [5]
приведено точное решение для частного случая холодных ионов с показателем адиабаты
электронного компонента γ− = 2.
В данной работе впервые приводится точное решение задачи о структуре ионнозвуковой
волны в плазме в рамках газодинамического подхода для любых значений γ±
в диапазоне γ± ∈ [1; 3].
1. Исходные уравнения и обозначения. Будем считать, что плазма является безграничной,
бесстолкновительной, однородной и содержит только электроны и однозарядные
ионы. Параметры электронного компонента невозмущенной плазмы обозначим следующим
образом: m− — масса частиц (в дальнейшем полагается, что электроны безынерционны,
т. е. m− → 0), e < 0 — заряд частиц, T0− — температура, γ− — показатель
адиабаты, P−—давление; параметры ионного компонента:m+—масса частиц, −e > 0—
заряд частиц, T0+ —температура, γ+ —показатель адиабаты, P+ —давление, v+ —скорость.
В силу условия квазинейтральности концентрации частиц обоих знаков заряда в
невозмущенной плазме n0± = n0. Возмущенные в волне параметры будем записывать без
индекса 0.
Запишем одномерные уравнения, определяющие динамику ионного компонента
плазмы:
— уравнение непрерывности
— уравнение движения
m+
— уравнение Пуассона
∂2ϕ
∂x2 = 4πe(n+ −n−)
P+ = kT0+n0(n+/n0)γ+
(3)
(ϕ — электростатический потенциал).
Систему уравнений (1)–(3) дополним уравнением состояния ионного газа, описывающим
адиабатический процесс:
(4)
(k — постоянная Больцмана). В уравнении Пуассона (3) необходимо учесть вклад электронного
компонента, который аналогично (4) будем описывать в рамках предположения
об адиабатичности процесса. Тогда, записав уравнение динамики электронного газа в виде
(2), где масса электронов стремится к нулю вследствие их безынерционности, можно
вывести уравнение, связывающее концентрацию электронов с электростатическим потенциалом.
В результате получим (см. [9])
n− = n0
1−
Легко убедиться, что при γ− → 1 уравнение (5) переходит в экспоненциальное распределение
Больцмана.
γ− −1
γ−
kT0−
частота, vs — линейная скорость ионного звука:
λD =
γ−kT0−
4πn0e2 , ω+ =
Введем следующие обозначения: λD — дебаевская длина, ω+ — ионная плазменная
4πn0e2
m+
, vs =
γ−kT0−
m+
.
eϕ 1/(γ−−1)
.
(5)
∂n+
∂t + ∂ (n+v+)
∂v+
∂t +v+
∂v+
∂x
∂x = 0;
= e ∂ϕ
∂x −
1
n+
∂P+
∂x ;
(1)
(2)
Стр.2
А. Е. Дубинов
Для уравнений (1)–(5) удобно также ввести следующие нормировки:
n± = n0n
±, T± = T0−T
±, ϕ = (γ−kT0−/e)ϕ, v± = vsv
5
±, x = λDx, t = ω−1
+ t.
Следует отметить, что размерный потенциал ϕ и безразмерный потенциал ϕ имеют разные
знаки, так как e < 0. В дальнейшем штрихи у безразмерных величин опускаются.
Таким образом, систему уравнений (1)–(3) с использованием уравнений состояния (4),
(5) можно записать в безразмерном виде
∂n+
∂t + ∂ (n+v+)
∂v+
∂t +v+
∂v+
∂x = ∂ϕ
∂x − γ+ −1
∂x = 0,
τ
∂x (nγ+−1
+ ),
∂
∂2ϕ
∂x2 = n+ −[1−(γ− −1)ϕ]1/(γ−−1),
где τ = γ+T0+/(γ−T0−).
2. Стационарное решение уравнений. Рассмотрим стационарную ионно-звуковую
волну, распространяющуюся в направлении x с безразмерной скоростью M (M — число
Маха). Для этого введем автомодельную переменную
ξ = x−Mt,
∂t = −M d
∂
dξ ,
∂x = d
∂
dξ .
Это означает переход из лабораторной системы отсчета в новую систему, движущуюся
вместе с волной. В результате система уравнений в частных производных (6) сводится
к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
−Mdn+
−Mdv+
dξ +v+
dξ + d (n+v+)
dv+
dξ = dϕ
dξ − γ+ −1
dξ = 0,
τ
dξ (nγ+−1
+ );
d
d2ϕ
dξ2 = n+ −[1−(γ− −1)ϕ]1/(γ−−1).
(7)
(8)
Прежде чем перейти к решению данной системы, рассмотрим известные методы решения
подобных систем. Наиболее часто используется метод псевдопотенциала [1, 2], который
заключается в интегрировании уравнений непрерывности и движения, получении
из интегралов зависимостей концентрации и скорости ионов от потенциала и подстановке
этих зависимостей в уравнение Пуассона. В результате получается автономное дифференциальное
уравнение второго порядка для потенциала, которое имеет вид уравнения
движения некоторого осциллятора в одномерном псевдопотенциале, причем электростатический
потенциал используется в качестве псевдокоординаты, а координата — в качестве
псевдовремени. Другой метод разработан в [10] и состоит в исключении из системы
уравнений концентрации ионов и потенциала и сведении ее к уравнению второго порядка
относительно скорости ионов. Решение и анализ этого уравнения также проводятся
методом псевдопотенциала, однако в качестве псевдокоординаты используется скорость
ионов. Существует также метод, описанный в работах [11, 12], в соответствии с которым
из уравнений исключаются потенциал и концентрация ионов, при этом система сводится
к уравнению третьего порядка относительно скорости. Полученное уравнение исследуют
с помощью фазового портрета. Авторам данной работы не удалось использовать перечисленные
методы для решения уравнений (7), (8).
(6)
Стр.3