Прикладная механика и техническая физика №2 2004 (352,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, NУДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск Решена задача о классификации обыкновенных дифференциальных уравнений вида y = f(x, y) по допускаемым локальным группам Ли преобразований. На основе понятия эквивалентности составлен список “эталонных” уравнений. Описаны классы уравнений, допускающих однопараметрическую группу, получаемых из “эталонных” путем инвариантного расширения. Ключевые слова: эквивалентность, допускаемые операторы, инвариантное расширение. Введение. Проблема групповой классификации дифференциальных уравнений впервые была поставлена основателем теории непрерывных групп норвежским математиком Софусом Ли [1]. Им было начато решение задачи о групповой классификации обыкновенного уравнения второго порядка y = f(x, y, y) и доказано, что это уравнение допускает не более чем 8-параметрическую группу преобразований пространства R2(x, y), причем максимум достигается, если и только если это уравнение эквивалентно линейному уравнению y = ϕ(x)y + ψ(x)y + ω(x). В данной работе проблема групповой классификации таких уравнений решается в более простом случае, когда правая часть не зависит от первой производной. Это условие оказывается очень жестким и приводит к сравнительно небольшому перечню возможных видов уравнений. Решение проблемы групповой классификации связано с понятием эквивалентности уравнений такого вида относительно преобразований. Рассматриваются гладкие, локально взаимно-однозначные отображения (преобразования) e: (x, y, f)→(x1, y1, f1) пространства R3(x, y, f), действующие по формулам x1 = F(x, y), y1 = G(x, y), f1 = H(x, y, f) и удовлетворяющие условию ∂(x1, y1, f1) ∂(x, y, f) ≡ (FxGy −FyGx)Hf = 0. сти (ПЭ) равенства y = f, если в результате его применения уравнение y = f(x, y) переходит в уравнение того же вида (здесь y y 1 = d2y1/dx2 1 = f1(x1, y1). 1) (4) При этом уравнения (3) и (4), а также функции f(x, y) и f1(x1, y1) называются эквивалентными. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02-01-00550). (2) Определение. Отображение e (1), (2) называется преобразованием эквивалентно(3) (1) ◦ 2 5

Стр.1

6 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N◦ 2 ства R3(x, y, f), которая называется группой эквивалентностей уравнений вида (3). Для решения задачи (a) необходимо прежде всего описать эту группу. Влияние понятия ПЭ на групповую классификацию определяется тем фактом, что эквивалентные уравнения допускают подобные группы [2], причем ПЭ является преобразованием подобия. А именно: если (3) допускает группу G, то (4) допускает ей подобную группу G1 = e(G). Ясно, что указанное соответствие является теоретико-множественным признаком эквивалентности, по которому множество уравнений вида (3) разбивается на классы эквивалентных уравнений. Поэтому задача групповой классификации сводится к двум следующим: (a) описать классы эквивалентных уравнений и (b) найти допускаемую группу для какого-нибудь (простейшего) представителя каждого класса. Очевидно, что все возможные ПЭ образуют группу E = {e} преобразований пространd2y1/dx2 1. Группа эквивалентностей. Вычисление выражения для производной y 1 в переменных (x, y), получаемого подстановкой (1), дает соотношение (Fx +yFy)3y 1 = 1 = (Fx +yFy)(Gxx +2yGxy +y2Gyy +yGy)− −(Gx +yGy)(Fxx +2yFxy +y2Fyy +yFy). Преобразование уравнения (3) в (4) подстановкой (1) возможно, если и только если в этом соотношении не будет слагаемых с первой производной y. Поэтому оно расщепляется по степеням y и приводит к равенствам F3 3F2 3FxF2 xf1 = Jf +FxGxx −GxFxx; xFyf1 = FyGxx −GyFxx +2FxGxy −2GxFxy; y f1 = FxGyy −GxFyy +2FyGxy −2GyFxy; y f1 = FyGyy −GyFyy, F3 щаются: (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) где J = FxGy −FyGx = 0. В силу (2) из (1.4) следует Fy = 0 и, значит, F = α(x), а равенства (1.2), (1.3) упроGyFxx = 2FxGxy, Gyy = 0. При этом (1.1) принимает вид F3 xf1 = FxGyf +FxGxx −GxFxx. (1.5) (1.6) Общее решение системы (1.5) есть G = β(x)y +γ(x), причем αβ = 2αβ,αβ = 0, где последнее неравенство следует из условия J = 0. Подстановка в (1.6) полученных выражений для F и G дает соотношение α3f1 = αβf +(αβ −αβ)y +(αγ −αγ), которое после замены y = (y1 −γ)/β упрощается до следующего: α2 β f1 = f − 1 β y1 +γ β . Итак, получается общее ПЭ x1 = α(x), y1 = β(x)y +γ(x), αβ = 2αβ (α2/β)f1 = f −(1/β)y1 +(γ/β), (αβ = 0), (1.7) зависящее от двух произвольных функций β(x), γ(x) и двух произвольных констант, возникающих при вычислении функции α(x).

Стр.2

Л. В. Овсянников 7 A(x1)f0(x1, y1), где A(x1) = (β/α2)(x1), функции α и β находятся из уравнений β(1/β) = p(x), βα = 2βα, а зависимость x от x1 получается обращением функции x1 = α(x); используется ПЭ x1 = Bx + C, y1 = My + N, а при B = 0 — ПЭ x = x1, y1 = My + N. В случае (ii) правая часть в выражении (1.7) для f1 в силу равенства y1 = βy + γ приводится к виду f −[(1/β) −p/β]y1 +[(γ/β) −pγ/β +q] и выбор β и γ в качестве решений уравнений (1/β) = p/β, (γ/β) = pγ/β −q приводит соотношение (1.7) к нужной форме (α2/β)f1 = f0. Случай (iii) получается из (1.7) с функциями α = 1/x, β = 1/x, γ = 0. эквивалентна функции f1 = 0. 2. Допускаемые операторы. Операторы однопараметрических подгрупп, допускаемых уравнением (3), ищутся в виде X = ξ(x, y) ∂x +η(x, y) ∂y. определяющим уравнениям (ОУ): ξyy = 0, ηyy = 2ξxy, 3fξy = 2ηxy −ξxx; ηxx +(ηy −2ξx)f = ξfx +ηfy, функции f ≡ 0. В этом случае система (2.2), (2.3) имеет общее решение вида ξ = a(x)y +b(x), η = a(x)y2 +c(x)y +d(x), где a = c = d = 0, b = 2c. Это и дает известную 8-мерную допускаемую алгебру Ли операторов. Далее предполагается, что fyy = 0. Тогда из третьего уравнения (2.2) следуют равенства ξy = 0 и 2ηxy = ξxx. В этом случае подсистема (2.2) легко интегрируется и ее общее решение есть ξ = a(x), η = b(x)y +c(x), причем 2b = a. Итак, допускаемые операторы (2.1) имеют вид X = a(x) ∂x +[b(x)y +c(x)] ∂y, a = 2b и остается ОУ (2.3), а именно by +c +(b−2a)f = afx +(by +c)fy, которое служит для классификации нелинейных уравнений (3). (2.4) (2.5) В частности, если взять f0 ≡ 0, то в случае (ii) функция f будет линейна по y и она (2.1) Стандартный алгоритм вычисления таких операторов (см. [2]) приводит к следующим (2.2) (2.3) где функция f = f(x, y) есть правая часть в (3). Если функция f линейна по y, т. е. (3) — линейное уравнение, то она эквивалентна Доказательство. Все утверждения следуют из ПЭ (1.7). В случае (i) при B = 0 (iii) функция f0(x, y) эквивалентна функции f1(x1, y1) = x−3 1 f0(1/x1, y1/x1). эквивалентна функции f1(x1, y1) = (AM/B2)f0(x1, y1), а при B = 0, когда f0 = f0(y), — функции f1(y1) = AMf0(y1); (ii) функция f(x, y) = f0(x, y) + p(x)y + q(x) эквивалентна функции f1(x1, y1) = Для дальнейшего полезно отметить некоторые частные виды ПЭ. Лемма 1. Пусть f0(x, y) есть некоторая фиксированная функция. Тогда (i) функция f(x, y) = Af0(Bx+C,My+N) с постоянными A, B, C, M, N при B = 0

Стр.3