ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, NУДК
534.01: 534.14
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН С ПОСТОЯННЫМ
ВРАЩАЮЩИМСЯ МАГНИТОМ В РОЛИ СТАТОРА
И ИХ НЕЛОКАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Н. В. Кондратьева, Ф. Ф. Родюков, А. И. Шепелявый
Санкт-Петербургский государственный университет, 198504 Санкт-Петербург
Построена полная математическая модель движения рамки с током, питаемой от источника
постоянного напряжения, которая помещена в поле постоянного магнита, вращающегося
с постоянной угловой скоростью. Из локального анализа этой модели следует
ее неустойчивость при отсутствии внешней нагрузки, что противоречит практике эксплуатации
двигателей. Поэтому рассмотренная модель ротора двигателей некорректна,
хотя она часто используется. Для того чтобы устранить обнаруженное противоречие,
вводится дополнительная рамка, ортогональная исходной, имеющая те же параметры,
но короткозамкнутая. Полная математическая модель такой системы устойчива при
отсутствии внешней нагрузки. Для случая асинхронного двигателя сформулированы
условия дихотомичности, глобальной асимптотической устойчивости и неустойчивости.
Рассмотрим схему электрической машины (ЭМ), в которой функцию статора выполняет
вращающийся постоянный магнит, а функцию ротора—рамка с током. Представим
магнитное поле статора ЭМ в виде постоянного по модулю вектора магнитной индукции
B, вращающегося в плоскости, перпендикулярной оси вращения ротора ЭМ, с постоянной
угловой скоростью ω = 314 с−1, равной угловой частоте напряжения сети (ω = 2πf,
f = 50 Гц). Раcсмотрим сначала схему ротора в виде одного электрического контура (рамки),
к которому через коллектор подводится постоянное напряжение возбуждения uf 0.
Следует отметить, что условие uf > 0 соответствует случаю синхронного двигателя,
◦ 6
3
uf = 0 — случаю асинхронного двигателя. Это согласуется с физическими представлениями,
так как синхронный двигатель есть асинхронный двигатель, к которому добавлена
обмотка возбуждения, дающая дополнительную обобщенную силу, сдвигающую положения
равновесия асинхронного двигателя и позволяющую синхронному двигателю работать
в синхронном режиме под нагрузкой.
Целью настоящей работы является вывод полной системы уравнений и анализ ее
устойчивости.
При составлении уравнений движения указанной электромеханической системы
(рис. 1) используем уравнения Лагранжа — Максвелла. Запишем выражения кинетической
энергии T и диссипативной функции D:
T = Tm +Te +Tem, D = Dm +De,
где Tm — механокинетическая энергия; Te — электрокинетическая энергия; Tem — электромеханокинетическая
энергия; Dm, De — механическая и электрическая составляющие
диссипативной функции соответственно.
По-видимому, впервые представление кинетической энергии электромеханической системы
в виде суммы трех слагаемых использовал Дж. К. Максвелл [1]. Третье слагаемое
он назвал электропондерокинетической энергией. Для обнаружения этой составляющей,
Стр.1
4
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N◦
6
Рис. 1
содержащей произведения скоростей материальных точек и значений электрического тока,
Дж. К. Максвелл провел эксперименты, результаты которых позволили сделать вывод,
что вклад электропондерокинетической энергии в полную энергию системы столь незначителен,
что не может быть обнаружен измерительными приборами. Этот вывод был
подтвержден в начале XX в. с использованием более совершенной измерительной техники.
В дальнейшем будем считать Tem = 0.
Известно, что суммарная мощность аэродинамических потерь и потерь на трение в
подшипниках в ЭМ составляет доли процента номинальной мощности [2, с. 165]. Следовательно,
величина Dm пренебрежимо мала и в дальнейшем можно считать Dm = 0.
Следует отметить, что последнее предположение для дальнейших рассуждений непринципиально.
Обычно считается, что момент трения в подшипниках есть величина постоянная,
а момент, порождаемый силами аэродинамического сопротивления, пропорционален угловой
скорости. Поэтому такие моменты можно рассматривать как составляющие внешнего
момента нагрузки.
Запишем выражения для энергий Tm, Te и диссипативной функции De:
Tm = J ˙γ2/2, Te = Lai2
a/2+Ψia cos (ωt−γ), De = Rai2
a/2,
где J —момент инерции контура с током; γ —угол поворота магнитной оси рамки, проходящей
через центр контура перпендикулярно его плоскости; La —индуктивность контура
с током; ia — ток в контуре; Ψ = BSw = const — амплитуда потокосцепления внешнего
магнитного поля с электрическим контуром; B = const — модуль вектора магнитной
индукции внешнего магнитного поля; S — площадь контура с током; w — число секций
контура; Ra — сопротивление контура.
Уравнение Лагранжа—Максвелла для независимой электрической переменной ia имеет
вид
d
или
dt
∂Te
∂ia
+ ∂De
∂ia
= uf
La˙ia −Ψ(ω − ˙γ) sin (ωt−γ)+Raia = uf ,
имеет вид
(1)
где uf — обобщенная по координате ia сила в виде постоянного напряжения возбуждения,
подводимого к контуру с током.
Уравнение Лагранжа — Максвелла для независимой геометрической координаты γ
d
dt
∂Tm
∂ ˙γ −
∂Te
∂γ +Mн = 0
(Mн — момент внешней нагрузки, приложенный к рамке с током) или
J¨
γ = Ψia sin (ωt−γ)−Mн.
(2)
Стр.2
Н. В. Кондратьева, Ф. Ф. Родюков, А. И. Шепелявый
5
Система уравнений (1), (2) полностью описывает динамику исследуемой электромеханической
системы.
Введем угол нагрузки
θ = ωt−γ
и скольжение s контура с током относительно внешнего магнитного поля
s = (ω − ˙γ)/ω.
(3)
(4)
Из (3), (4) следует ˙θ = ωs.
Вместо текущего времени t введем безразмерное синхронное время τ = ωt, соответствующее
углу поворота внешнего магнитного поля (вектора B). Тогда уравнения (1), (2)
примут вид
Laωdia
dτ −ωΨ1−
dθ
dτ = s = 1−
безразмерные ток ¯
ia = u
ωLa
¯
dγ
dτ ,
ia, Mн = uΨ
ωLa
dγ
dτ
ds
dτ = −
¯
sin θ +Raia = uf ,
1
(5)
ω2J (Ψia sin θ −Mн).
Для исследования системы (5) целесообразно записать ее в безразмерном виде, введя
ia, момент внешней нагрузки ¯
Mн, uf = uRa
ωLa
Mн, напряжение ¯
¯
uf , Ψ = u
ω
uf и потокосцепление ¯
¯
Ψ.
Здесь u — базисное напряжение (например, амплитудное значение напряжения сети).
В безразмерных переменных система (5) примет следующий вид (черта над безразмерными
величинами опущена, точка над переменной обозначает дифференцирование по
безразмерному времени τ):
i˙a = −αria +bs sin θ +αruf ,
Здесь αr = Ra/(ωLa); b = ¯
θ˙ = s,
электромагнитного момента и момента нагрузки следует уравнение для θ0
uf sin θ0 =Mн.
ющая линейная система имеет вид
˜˙ia = −αr˜
ia +b˜
s sin θ0,
В установившемся режиме из (6) получаем s = 0, θ = θ0, ia = uf , из условия равновесия
Ψ; δ = uΨ/(ω3LaJ).
(7)
Отсюда вытекает существование двух положений равновесия при Mн < uf .
Рассмотрим малые колебания системы (6) около положений равновесия. Соответствуθ
= ˜
˜˙
s,
s = −δ(˜
˜˙
ia sin θ0 +uf ˜
где значения θ0 определяются из уравнения (7).
Характеристическое уравнение системы (8) следующее:
λ3 +αrλ2 +δ(b sin2 θ0 +uf cos θ0)λ+δufαr cos θ0 = 0.
Миноры Гурвица для многочлена в (9) удовлетворяют условиям
∆1 = αr > 0, ∆2 = δαrb sin2 θ0 0, ∆3 = ∆2δufαr cos θ0 0.
Равенство нулю второго и третьего миноров имеет место в режиме холостого хода, когда
Mн = 0. Холостой ход — естественный режим работы практически всех ЭМ. Ни одна из
них не может работать в неустойчивом режиме. Это несоответствие теории и практики
обусловлено выбором модели ротора ЭМ в виде одной обмотки (рамки).
(9)
θ cos θ0),
(8)
s˙ = −δ(ia sin θ −Mн).
(6)
Ψ:
Стр.3