Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Соликамский государственный педагогический институт»
(СГПИ)
Кафедра математики и физики
А. Е. Малых, Т. В. Рихтер
ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ
ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
(ДИСТАНЦИОННЫЕ КУРСЫ)
Учебное пособие
«Рекомендовано УМО по математике
педвузов Волго-Вятского региона
в качестве учебного пособия для студентов
педагогических направлений подготовки
высших учебных заведений»
Протокол №15 заседания Совета УМО от 24 мая 2011 г.
Соликамск
СГПИ
2011
Стр.1
УДК 37
ББК 74.262.21
М 20
Рецензенты:
В. И. Яковлев– доктор физ.-мат. наук, профессор,
декан механико-математического факультета
Пермского государственного университета;
В. И. Карпова– канд. пед. наук, доцент, зав. каф. математики
и естественно-научных дисциплин Пермского института
железнодорожного транспорта (филиал УрГУПС)
М 20 Малых, А. Е.
Избранные вопросы обучения геометрии (дистанционные курсы)
[Текст]: учебное пособие / А. Е. Малых, Т. В. Рихтер; ФГБОУ
ВПО «Соликамский государственный педагогический институт». –
Соликамск, 2011. − 176 с. – ISBN 978-5-89469-075-9
В данном учебном пособии представлены дистанционные курсы обучения
«Опорные планиметрические задачи», «Элементы сферической геометрии»,
способствующие формированию и развитию интереса к геометрии,
ее практической части, привитию исследовательских навыков, совершенствованию
математической культуры обучаемых.
Пособие адресовано студентам педагогических вузов, обучающихся по
специальностям «Математика», «Информатика», по направлению бакалавриата
«Педагогическое образование» с профилями «Математика», «Информатика»,
учителям математики общеобразовательных и профильных школ, а
также всем тем, кто интересуется геометрией.
УДК 37
ББК
74.262.21
Рекомендовано к изданию РИСо СГПИ.
Протокол № 27 от 27.06.2011 г.
Работа выполнена в рамках фундаментального исследования ГРНТИ,
финансируемого Министерством образования и науки РФ
ISBN 978-5-89469-075-9
© Малых А. Е., Рихтер Т. В., 2011
© ФГБОУ ВПО «Соликамский
государственный педагогический
институт», 2011
2
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………….
ГЛАВА I. ДИСТАНЦИОННЫЙ КУРС «ОПОРНЫЕ
ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ»
Модуль 1. Теорема косинусов………………………………………
Модуль 2. Прямоугольный треугольник…………………………..
Модуль 3. Теорема синусов………………………………………...
Модуль 4. Замечательные точки и линии в треугольнике………..
1.4.1. Медианы треугольника………………………………….
1.4.2. Биссектрисы треугольника……………………………....
1.4.3. Высоты треугольника………………………………….....
Модуль 5. Площадь треугольника и его частей…………………...
1.5.1. Равновеликость и равносоставленность………………...
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..........................................................................
ГЛАВА II. ДИСТАНЦИОННЫЙ КУРС
«ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ»
Модуль 1. Основные понятия сферической геометрии……………
2.1.1. Сфера, большая и малая окружности………………........
2.1.2. Расстояние между точками……………………………...
2.1.3. Полюс и поляра……………………………………….......
2.1.4. Угол на сфере………………………………………….......
2.1.5. Понятие движения………………………………………...
2.1.6. Предмет сферической геометрии………………………...
2.1.7. Принцип двойственности……………………………........
Модуль 2. Сферические треугольники……………………………….
129
129
132
133
134
136
138
138
140
2.2.1. Двуугольники и треугольники на сфере………………… 140
2.2.2. Полярные треугольники………………………………......
2.2.3. Признаки равенства сферических треугольников……….
2.2.4. Равнобедренные сферические треугольники…………….
2.2.5. Площадь сферического треугольника…………………… 153
Модуль 3. Сферические многоугольники…………………………...
2.3.1. Понятие сферического многоугольника, его свойства........
2.3.2. Площадь сферического многоугольника………………...
Модуль 4. Малые окружности……………………………………...
Модуль 5. Геометрические места точек на сфере………………........
Задания для самостоятельного выполнения………………………...
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………
141
144
147
156
156
158
159
162
164
174
10
27
47
64
65
72
89
100
101
1.5.2. Аналитическое решение задач, относящихся
к вычислению площади треугольника и его частей…………. 112
127
4
3
Стр.3
ВВЕДЕНИЕ
Глубокие социально-экономические изменения в современном
обществе потребовали переосмысления государственной политики в
области высшего образования, направленной на усовершенствование
его структуры и обновление содержания, а также форм альтернативного
и вариативного обучения. Для создания такой адаптивной системы
необходимо решить целый комплекс педагогических, дидактических,
организационно-правовых и других задач, направленных на разработку
инновационных образовательных проектов. Одним из них является
организация единого телекоммуникационного дистанционного пространства.
Неоднозначность
в понимании сущности дистанционного образования
определила две основные тенденции и стратегии его развития в
России: соединение возможностей современных информационных
технологий с традиционно сложившейся практикой обучения; построение
базовой модели образования, ориентированной на учет потребностей
общества.
Поскольку дистанционное обучение позволяет построить для каждого
обучающегося индивидуальную образовательную траекторию
посредством специально созданной информационной среды, удовлетворяющей
потребности в качественном образовании, представляется
целесообразным его внедрение в систему высшего образования, в том
числе и при овладении геометрическими знаниями. Это будет способствовать
формированию мировоззрения обучаемых, развитию логического
мышления, пространственного воображения, памяти, творческих
способностей и т.д.
Под дистанционным обучением понимается комплекс образовательных
услуг, предоставляемых посредством специализированной
информационно-образовательной среды на любом расстоянии.
4
Стр.4
Геометрия является одной из центральных школьных дисциплин.
Перед учителем стоит важная проблема – не только дать учащимся
прочные знания, но и научить применять их на практике. Хотя обучение
решению геометрических задач освещено в многочисленных публикациях,
проблема еще далека от разрешения. Известный педагогматематик
Д. Пойа выделил четыре этапа (ступени) в решении задач с
неизвестным для обучаемого алгоритмом решения: понимание смысла
задачи, ее условий, требований, связей между ними; поиск плана решения;
его реализация; анализ поиска решения, самого решения, результата.
При решении проблемно-развивающих задач наибольшая
трудность ощущается на этапе поиска. Для ее преодоления имеются
общие эвристические приемы.
Российские методисты Ю. М. Колягин, Л. М. Фридман и другие
ученые разработали приемы решения задач, которые состоят в следующем:
–
попытаться свести данную задачу к такому типу, способ решения
которого известен;
– проанализировать требования задачи и попробовать применить
известный прием или метод;
– видоизменить задачу, т.е. на ее основе составить новую;
– разбить задачу на несколько вспомогательных, последовательное
решение которых может составить решение исходной;
– отыскать в литературе решенную задачу, аналогичную данной, и др.
Однако знание общих приемов поиска еще не гарантирует успеха
в решении. Необходимо заранее сформировать у обучаемых умения,
соответствующие каждому приему. Анализ исследований Д. Пойа и
ряда отечественных ученых позволил сделать вывод о том, что обучать
решению геометрических задач – значит формировать у обучаемых
умения:
5
Стр.5
– анализировать условие задачи (выделять данные и требования,
соотносить первые со вторыми);
– устанавливать круг теоретических положений, которые могут ассоциироваться
с каждым элементом условия и требования;
–выводить следствия, преобразовывать теоретические положения
(аксиомы, определения понятий, формулировки теорем) в способы
деятельности, эвристические приемы;
– владеть способами решения исходных задач, к совокупности которых
сводятся более сложные;
– составлять новые задачи путем изменения условий старых, замены
на равносильные; формулировать обратные задачи; выполнять
обобщения и конкретизации; использовать результаты решения;
– решать задачи разными методами.
Известно, что процесс формирования любого понятия, умения,
приобретения навыков довольно длительный. Важным при этом является
последовательная и целенаправленная работа обучающего.
В предлагаемом пособии представлены два дистанционных курса
«Опорные планиметрические задачи», «Элементы сферической геометрии».
Дистанционный курс «Опорные планиметрические задачи»
преследует цель овладеть системой знаний и умений решения таких
задач. Ее реализация состоит в формировании и развитии у обучаемых
интереса к геометрии и ее практической части, интуиции, исследовательских
навыков; совершенствовании математической культуры.
Одним из важнейших этапов решения геометрической задачи является
построение чертежа. Считают, что ни одна достаточно содержательная
задача не может быть быстро и рационально решена без
грамотно выполненного чертежа. В предлагаемом факультативном
курсе основным методом решения, который следует освоить и отработать
в первую очередь, является алгебраический. Его преимущество
заключается в том, что две основные его модификации (методы по6
Стр.6
этапного отождествления и составления уравнений) легко алгоритмизируются.
Граница между ними до некоторой степени условна: первая
является частным случаем второй.
Применяя алгебраический метод при решении планиметрических
задач, не следует забывать о том, что обучаемые имеют дело с геометрической
задачей, а потому следует прежде всего искать в ней геометрические
свойства, особенности, соотношения. Рассматривая каждую
задачу вместе с методом ее решения, мы выделили множество элементарных
задач, т.е. решаемых в одно действие, выполненное на основе
известной теоремы или формулы. При этом конфигурация, к которой
они применяются, достаточно четко обозначена в условии. О
границах множества таких задач приходится говорить условно. Тем не
менее его выделение представляется оправданным. Оно оказывается
полезным, т.к. решение более сложных и содержательных задач составляется
из элементарных – «кирпичиков».
К двум указанным выше слагаемым (чертеж и алгебраический метод),
помогающим решать задачи, добавляются владение объемом
вспомогательных геометрических фактов и теорем, наличие часто используемого
списка так называемых опорных задач (термин И.
Ф. Шарыгина). В теоретическую часть школьного курса геометрии
включены главным образом теоремы, необходимые для его дальнейшего
развития. В то же время имеются теоремы, исключенные из
учебного курса, областью приложения которых является задача, а не
теория. Поэтому возникла необходимость в выделении некоторого
множества опорных задач, состоящего из набора дополнительных теорем
или иллюстрирующих часто встречающийся прием решения задач,
который обучаемый должен освоить. В процессе усложнения решаемых
задач, как правило, расширяется и список опорных.
Особенностью курса геометрии, затрудняющей до некоторой степени
процесс обучения решению задач, является то, что учащиеся
главным образом заняты изучением конкретной темы и решением свя7
Стр.7