ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ≪ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ≫ НЕПРЕРЫВНОЕ ВСПЛЕСКОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Учебно-методическое пособие для вузов Составители: И.Я. Новиков, П.Г. Северов Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2009 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 24 сентября 2009 г., протокол № 1 Рецензент канд. физ.-мат. наук Г.Ю. Северин Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре функционального анализа и операторных уравнений математического факультета Воронежского государственного университета. <...> Рекомендуется для студентов 4, 5 курсов дневного отделения математического факультета. <...> Автор рассматривает непрерывное всплесковое преобразование (ему посвящена целая глава), аналог формулы Планшереля, формулы обращения, функция ядра, а также убывание вейвлетпреобразований. <...> Непрерывное всплесковое преобразование рассматривается с точки зрения теории воспроизводящих ядер. <...> Непрерывное всплесковое преобразование (далее НВП) сравнивается с оконным преобразованием Фурье. <...> С помощью НВП автор определяет различные операторы и исследует характеристики локальной регулярности функций. <...> В отличие от монографий Блаттера К. и Добеши И., данная монография ориентирована на высококвалифицированных инженеров, интересующихся приложениями НВП к прикладным задачам. <...> Одним из важнейших моментов является рассмотрение максимумов модуля всплескового преобразования, которые в совокупности образуют линии максимумов (скелетоны). <...> Отличительной особенностью данной книги является то что здесь дается описание основных функций пакетаMATLAB, связанных с вейвлетами. <...> На практике НВП рассматривается на примере кардиосигнала. <...> Вводится одномерный и комплексный одномерный непрерывный всплесковый анализ. <...> Интегральное всплесковое преобразование <...>
Непрерывное_всплесковое_преобразование_.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
≪ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ≫
НЕПРЕРЫВНОЕ ВСПЛЕСКОВОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители:
И.Я. Новиков,
П.Г. Северов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
Стр.1
Характеристика источников
Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. – М. :
Техносфера, 2004. – 280 с.
Весь материал дан на высоком математическом уровне (для глубокого
изучения требуется высокий уровень знаний по математическому и
функциональному анализу). Автор рассматривает непрерывное всплесковое
преобразование (ему посвящена целая глава), аналог формулы Планшереля,
формулы обращения, функция ядра, а также убывание вейвлетпреобразований.
Добеши
И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. – Ижевск :
Регулярная и хаотическая динамика≫
НИЦ ≪
, 2001. – 464 с.
Непрерывное всплесковое преобразование рассматривается с точки
зрения теории воспроизводящих ядер. Непрерывное всплесковое преобразование
(далее НВП) сравнивается с оконным преобразованием Фурье.
С помощью НВП автор определяет различные операторы и исследует характеристики
локальной регулярности функций.
Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / С. Малла. – М. : Мир,
2005. – 671 с.
В отличие от монографий Блаттера К. и Добеши И., данная монография
ориентирована на высококвалифицированных инженеров, интересующихся
приложениями НВП к прикладным задачам. На ряду с общим
понятием всплескового преобразования, в данной монографии вводится
вещественное и аналитическое (комплексное) всплесковое преобразование.
Для аналитического всплескового преобразования определяется
локально-частотная плотность энергии Pwf (скэйлограмма). Далее рассматриваются
вейвлет-хребты, которые показывают в каких точках скэйлограмма
максимальна. Одним из важнейших моментов является рассмотрение
максимумов модуля всплескового преобразования, которые в
совокупности образуют линии максимумов (скелетоны). Скелетоны позволяют
выявить различные особенности анализируемого сигнала. Большой
объем работы посвящен обработке изображения.
3
Стр.3
Всплески стали необходимым математическим инструментом во многих
исследованиях и очень популярными в самых различных приложениях.
Всплески используются при анализе наблюдаемых данных (сейсмических
и акустических сигналов (именно здесь впервые возник термин
≪
wavelet≫
), динамике жидкости и турбулентности, строению поверхностей,
потокам космических лучей, солнечному ветру, строению галактик).
Всплесковое преобразование использовалось также для анализа последовательностей
ДНК с целью выявить природу и происхождение дальних
корреляций в этих последовательностях. Хорошо известен пример, когда
ФБР использовало всплесковый анализ для сжатия информации, в
результате чего удалось хранить большое количество отпечатков пальцев
в сравнительно небольших компьютерах, что в свою очередь позволило
сэкономить значительные средства. Это становится возможным за
счет отбрасывания небольших всплесковых коэффициентов после того,
как проведено прямое всплеск-преобразование.
Красота математического аппарата всплескового преобразования и его
значение на практике привлекали и продолжают привлекать к себе исследователей,
которые работают как над фундаментальными, так и над
чисто прикладными вопросами.
6
Стр.6
Всюду в дальнейшем мы без специальных оговорок будем пользоваться
основными определениями и обозначениями функционального анализа.
Для
лучшего понимания интегрального всплескового преобразования
рассмотрим близкие к нему преобразования, которые были известны ранее.
§
1. Преобразование Габора
Пусть функция f ∈ L2(R) и
f(ω) :=
R
ее преобразование Фурье.
Преобразование Фурье дает частотную информацию, содержащуюся
в сигнале, то есть говорит нам о том, каково содержание каждой частоты
в сигнале. Интеграл берется от минус бесконечности до плюс бесконечности,
по всей временной оси. Поэтому в какой момент времени возникла та
или другая частота, когда она закончилась – на эти вопросы ответ получить
не удастся. Для преобразования Фурье равнозначно, присутствует
ли какая-нибудь частота на протяжении всего исследуемого сигнала или
возникла в определенный момент времени, ее вклад все равно будет одинаковым.
Для
иллюстрации этого явления приведем графики дискретного преобразования
Фурье для двух функций:
f1(t) =
(sin(2πν1t) +cos(2πν1t))/1000, t ∈ [0, 1
(sin(2πν2t) +cos(2πν2t))/1000, t ∈ [1
2, 1). ,
2),
(1.2)
f2(t) = (sin(2πν1t)+cos(2πν1t)+sin(2πν2t)+cos(2πν2t))/2000.
Заметим, что любой сигнал с периодом N может быть представлен в
виде суммы дискретных синусоидальных волн (см. [9], п. 3.3.2). Дискретное
преобразование Фурье (ДПФ) f есть
f[k] =
N−1
n=0
f[n] exp
7
−i2πkn
N
(1.3)
e−iωtf(t)dt
(1.1)
Стр.7
−2
0
2
0.5
−0.5
0
0.5
−0.5
0
0.2
0.4
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 10−3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−2
0
2
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5
0
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5
0
0.2
0.4
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 10−3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 1: Преобразование Фурье
На рис. 1 первая колонка соответствует f1, вторая – f2, ν1 = 99,
ν2 = 237. В первой строке – графики исходных функций, во второй –
действительные части дискретного преобразования Фурье этих функций,
в третьей – мнимые, в четвертой – абсолютные величины. У первой функции
частотные характеристики меняются по времени t (они различны на
первой и второй половинах отрезка [0, 1]), а у второй – нет. Однако их
преобразования Фурье (особенно абсолютные величины) похожи.
В связи с вышесказанным отметим, что преобразование Фурье непригодно
для анализа нестационарных сигналов, за одним исключением, когда
нас интересует лишь частотная информация, а время существования
спектральных составляющих неважно.
8
Стр.8