Кратчайшие сети. Доступное введение в задачах и решениях (2000,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Сергей Гашков Доступное введение в задачах и решениях Кратчайшие сети. Москва, 2024

Стр.2

УДК 514 ББК 22.151 Г24 Г24 Кратчайшие сети. Доступное введение в задачах и решениях. – М.: ДМК Пресс, 2024. – 114 с.: ил. Гашков С. Б. ISBN 978-5-93700-298-3 Книга посвящена старой, но незаслуженно забытой задаче о том, как соединить данное множество пунктов на плоскости кратчайшей сетью прямолинейных отрезков. Этот важный вопрос интересен еще и тем, что даже в простейших случаях он приводит к любопытным и непростым геометрическим решениям. В общем случае эта задача трудна и является предметом серьезных современных исследований. В данном пособии будет подробно рассмотрен только случай трех или четырех точек на плоскости либо в пространстве. Изложение доступно даже школьникам и будет интересно всем любителям математики. УДК 514 ББК 22.151 Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав. ISBN 978-5-93700-298-3 © Гашков С. Б., 2024 © Оформление, издание, ДМК Пресс, 2024

Стр.3

Содержание От издательства ................................................................................... 5 Введение ................................................................................................. 6 Глава 1. Кратчайшие сети и задача Ферма–Торричелли ........................................................................... 9 1.1. Случай трех точек ............................................................................... 9 1.2. Точки Ферма–Торричелли для треугольника ...............................11 1.3. Кратчайшие сети из двух отрезков и из трех отрезков ...............15 1.3.1. Окончание решения задачи 4: почти чистая геометрия .....16 1.3.2. Завершение решения задачи 3: алгебра и немного тригонометрии .....................................................................................16 1.3.3. Еще одно неравенство для длины сети Ферма–Торричелли .............................................................................19 1.3.4. Второе доказательство неравенства t £ P/ 3 ........................20 1.3.5. Еще о треуголках Наполеона ....................................................20 1.4. Точка Ферма–Торричелли и механика ..........................................22 1.5. Еще доказательства свойств точки Ферма–Торричелли и неравенства t £ P/ 3 .............................................................................24 Глава 2. Задача Ферма–Торричелли для многих точек.........................................................................................................27 2.1. Свойство выпуклости .......................................................................27 2.2. Необходимое условие для точки Ферма–Торричелли .................29 2.2.1. Задача Ферма–Торричелли для четырехугольников ............30 2.4. Невозможность построения точки Ферма–Торричелли циркулем и линейкой в общем случае ..................................................36 2.3. А если точек много? ..........................................................................32 2.3.1. Случай многоугольников ..........................................................34

Стр.4

4  Содержание Глава 3. Точки Ферма–Торричелли в пространстве .........41 3.1. Точки Ферма–Торричелли в тетраэдрах ........................................41 3.1.1. Для какой четверки единичных векторов сумма равна нулю? .....................................................................................................43 3.1.2. Четверки векторов и равногранные тетраэдры ....................44 3.1.3. Когда точка Ферма–Торричелли лежит внутри тетраэдра? .............................................................................................47 3.2. Точки Ферма–Торричелли в правильных многогранниках .......51 Глава 4. Плоские сети Штейнера................................................53 4.1. Что такое сети, или деревья, Штейнера? .......................................53 4.1.1. Свойства деревьев Штейнера ...................................................56 4.2. Сети Штейнера для трех и четырех точек .....................................61 4.2.1. Деревья Штейнера для параллелограммов ............................69 4.2.2. Деревья Штейнера для трапеций ............................................71 Глава 5. Деревья Штейнера в пространстве ........................77 5.1. Сети Штейнера для правильного и полуправильного тетраэдров .................................................................................................79 5.2. Дерево Штейнера и минимальная стягивающая сеть без точек Штейнера .................................................................................85 Глава 6. Минимальные стягивающие деревья в графах .................................................................................................89 6.1. Алгоритм Ярника–Прима ................................................................93 6.2. Алгоритм Краскала .........................................................................101 6.3. Минимальные стягивающие деревья на плоскости ..................108 Литература ..........................................................................................111 Предметный указатель .................................................................112

Стр.5