ББКУДК 373.3:51
22.1я729
З-80
Золотарёва Н. Д.
З-80 Математика. Сборник задач по основному курсу : учебно-методическое
пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федотова.
— Электрон. изд. —М. : Лаборатория знаний, 2022. —
270 с. —(ВМК МГУ—школе). — Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-990-9
Настоящее пособие составлено преподавателями факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственного
экзамена. Пособие содержит теоретический материал, примеры
с решениями и подборку задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению
как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам,
руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
ББКУДК 373.3:51
22.1я729
Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика.
Сборник задач по основному курсу : учебно-методическое пособие
/ Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов
; под ред. М. В. Федотова. —М. : Лаборатория знаний, 2022. —
265 с. : ил. —(ВМК МГУ—школе). — ISBN 978-5-93208-253-9.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-990-9
© Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов, 2022
© Лаборатория знаний, 2022
Стр.3
Оглавление
От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Часть I. Алгебра
1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения
и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Формулы сокращенного умножения, преобразование алгебраических
выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
9
9
9
1.2. Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства
с модулем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Квадратный трехчлен, разложение квадратного трехчлена на
множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема
Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие
системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . . 22
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение
переменных при решении систем уравнений . . . . . . . . . . . 26
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные
преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного
и того же аргумента, формулы двойного и половинного
аргументов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на
множители, сведение к квадратному уравнению . . . . . . . . 37
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения уравнений
к простейшим . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4. Различные задачи на отбор корней . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Стандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1. Пропорциональные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . 49
4.3. Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4. Работа и производительность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5. Проценты, формула сложного процента . . . . . . . . . . . . . 59
5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических
и показательных значений . . . . . . . . . . . 62
5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные
преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Стр.4
4
5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные
преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4. Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6. Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы
тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1. Линейные тригонометрические уравнения,
метод вспомогательного аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени,
замена тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . . 79
6.3. Системы тригонометрических уравнений . . . . . . . . . . . . 83
6.4. Использование ограниченности тригонометрических функций,
оценочные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7. Изображение множества точек на координатной плоскости, использование
графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила линейных
преобразований графиков . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3. Использование графических иллюстраций при решении уравнений
и неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8. Элементы математического анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.1. Производная, ее геометрический и физический смыслы. Производные
элементарных функций, основные правила дифференцирования
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.2. Исследование функций с помощью производной . . . . . . . . 106
8.3. Первообразные элементарных функций. Основные правила
нахождения первообразных. Вычисление площади плоской
фигуры с помощью первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9. Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.1. Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . 117
9.3. Концентрация, смеси и сплавы,
массовые и объемные доли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений . . . . . . . . 123
10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 126
10.1. Различные приемы раскрытия модулей, системы уравнений
и неравенств с модулями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях . . . . 131
10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах
различных видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.1. Понятие расщепления. Равносильные преобразования . . . . . 136
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Стр.5
5
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях
и неравенствах. Модифицированный метод интервалов . . 143
11.4. Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Часть II. Геометрия
151
Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1.1. Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1.2. Треугольники общего вида.
Теоремы синусов, косинусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
1.3. Медиана, биссектриса, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
1.4. Подобие треугольников. Теорема Фалеса . . . . . . . . . . . . 163
1.5. Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2. Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.1. Углы в окружностях. Касание окружности и прямой . . . . . 172
2.2. Свойства касательных, хорд, секущих . . . . . . . . . . . . . . 177
2.3. Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3. Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.1. Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.2. Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.3. Четырехугольники общего вида. Правильные многоугольники 193
4. Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.1. Декартовы координаты и векторы на плоскости . . . . . . . . 197
Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Введение в стереометрию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5. Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.1. Прямая призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.2. Наклонная призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6. Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.1. Правильная пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.2. Тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.3. Произвольные пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7. Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.1. Цилиндр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.2. Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.3. Шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8. Координаты и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.1. Декартовы координаты и векторы в пространстве . . . . . . . 228
Варианты ДВИ МГУ последних лет
Ответы
Список литературы
232
242
265
Стр.6