МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Учебно-методическое пособие
Составители:
Ю.В. Малыгина,
А.В. Ковалев,
Т.Д. Семыкина
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2016
Стр.1
Содержание
Введение ............................................................................................................... 4
1. Основные понятия упругости ........................................................................ 5
1.1. Модель упругих сред (закон Гука) .......................................................... 5
1.2. Упругий потенциал ................................................................................... 7
1.3. Обобщенный закон Гука .......................................................................... 7
1.4. Закон Гука для однородного (изотропного) тела .................................. 8
1.5. Смысл параметров Ламе ........................................................................... 8
2. Постановка задач упругости .......................................................................... 9
2.1. Основная система уравнений упругости ................................................ 9
2.2. Основные задачи статики ....................................................................... 10
2.3. Уравнения равновесия упругого тела в перемещениях
(уравнение Ламе) ............................................................................................ 10
2.4. Основные уравнения в напряжениях
(уравнения Бельтрами-Митчелла) ................................................................ 11
2.5. Общие теоремы упругости ..................................................................... 12
2.5.1. Теорема Клапейрона ......................................................................... 12
2.5.2. Теорема о единственности решения ............................................... 13
2.5.3. Теорема Бетти .................................................................................... 15
3. Основные приближенные методы решения задач ..................................... 16
3.1. Полуобратный метод Сен-Венана ......................................................... 16
3.2. Принцип Сен-Венана .............................................................................. 17
3.3. Метод суперпозиции ............................................................................... 18
4. Примеры решения задач ............................................................................... 19
4.1 Растяжение изотропного бруса силой P.
Полуобратный метод и метод смягчения граничных условий ................. 19
4.2. Растяжение бруса с цилиндрической анизотропией ........................... 20
4.3. Упражнения для самостоятельной работы ........................................... 22
Бибилиографический список ........................................................................... 24
3
Стр.3
Запишем первый закон термодинамики:
+ = +.
При изотермическом процессе изменение тепловой энергии отсутствует:
= 0.
Изменение кинетической энергии
= .
Рассмотрим тело, находящееся под действием массовых сил (сил,
объеме тела
Напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия во всём
, + = ,
=
+
а также граничным условиям на поверхности тела
=.
Используя теорему Остроградского-Гаусса, преобразуем второй интеграл
в (1.1.1):
После этого работа может быть записана в виде
=
=(,
=(,
Выражение для , представим суммой симметричной и кососим
− =(,
метричной частей
+ − ) +
Из симметрии тензора напряжений следует, что =0. Следовательно,
приращение работы деформаций примет вид
, = 1
2 , +,+ 1
2 , −,= +.
− =
.
+) +
+) +
=(),
.
,,
,,
,.
.
(1.1.1)
приложенных в каждой точке тела) и поверхностных сил (приложенных
по поверхности тела).
Виртуальная работа этих сил
6
Стр.6
Если происходит статическое деформирование, то = 0 и в этом
случае изменение внутренней энергии тела определяется формулой
где = – приращение удельной работы деформации.
1.2. Упругий потенциал
=
Твердое тело называется идеально упругим, если напряженное состояние
в любой его точке в произвольный момент деформирования зависит
только от деформации в этой точке.
Для таких тел существует однозначная зависимость между действующими
силами и вызываемыми ими упругими деформациями. Из (1.1.2)
следует, что удельная работа внутренних сил определяется начальными
и конечными деформациями и не зависит от конкретного перехода из одного
состояния в другое, то есть ∮ = 0.
Следовательно, функция является полным дифференциалом и отсюда
вытекает
где – удельный упругий потенциал.
Равенство (1.2.1) называется формулой Грина.
=
, =
1.3. Обобщенный закон Гука
Тейлора:
Считая деформации малыми, разложим удельный потенциал в ряд
| + 1
=| +
Подставляя в (1.2.1), получим
=
2 ке
| +
ке
|ке.
Так как нулевым деформациям соответствуют нулевые напряжения,
то первое слагаемое для идеально упругого тела равно нулю, поэтому
удельный упругий потенциал является квадратичной функцией деформаций.
Введем обозначения:
Первоначально этих констант 3 =81, но с учетом симметрии тен
= = =.
зоров напряжений и деформаций остается 21 константа для самых общих
упругих сред.
7
| =,
| kl
+⋯.
,
(1.2.1)
,
(1.1.2)
Стр.7
Пусть упругая среда обладает плоскостью симметрии свойств относительно
оси . Заменим на противоположное направление
′ =,′ =,′ =−,′ =, =, ′ =−,
′ =−,′ =−,′ =−,′ =−.
Значит, константы, которые содержат индекс «3» один раз должны быть
равны нулю, количество констант сокращается до 13.
Далее рассмотрим изотропное тело.
1.4. Закон Гука для однородного (изотропного) тела
Для изотропного тела удельная работа деформаций не зависит от направления
координатных осей, следовательно, она должна зависеть от инвариантов
тензора деформаций. Учитывая, что величина ≥ 0 и является
квадратичной функцией деформаций, запишем ее в виде
где и – положительные константы, параметры Ламе.
Докажем положительность параметров Ламе. Действительно, пусть
= 1
2 + 2,
деформации такие, что =0. Тогда остается только второе слагаемое,
но > 0 и >0 => > 0.
С другой стороны, >0 при любом деформированном состоянии,
следовательно, > 0.
Формула Грина для изотропного тела имеет вид
= +2.
1.5. Смысл параметров Ламе
Выясним физический смысл параметров Ламе. По определению
= = – объемная деформация:
() = => =3 + 2 = (3 + 2).
– среднее давление, тогда
Здесь =
где = +
= 3 + 2
3 = ,
Рассмотрим тензор напряжения чистого сдвига в плоскости (,).
В этом случае все компоненты напряжений равны нулю за исключением
; > 0 – модуль объемного сжатия.
=, а это дает единственное соотношение =2 =.
Упругую постоянную называют модулем сдвига и обозначают G,
то есть = .
Рассмотрим другой частный случай одноосного растяжения призма
.
8
тического бруса. Ось совместим с осью бруса, тогда только >0, а
остальные =0. Тогда =
Стр.8
На основании закона Гука можно записать
= =−
= +
(3 + 2) ,
Заметим, что при одноосном напряженном состоянии тензор дефор
= = =0.
маций не является одноосным.
Введем обозначения:
где – модуль продольной упругости или модуль Юнга, – коэффициент
поперечной деформации или коэффициент Пуассона.
Поскольку было показано, что параметры Ламе положительны, то
= (3 + 2)
+ , =
2(+ ),
> 0, > 0.
Можно получить обратные выражения:
Поскольку > 0, > 0, то из равенства (1.5.1) следует, что
(1+) ≥0, (1−2) ≥0.
= =
2(1+ ) , =
(1+)(1−2),
Отсюда определяются пределы коэффициента Пуассона:
−1 ≤ ≤ 0,5.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ УПРУГОСТИ
2.1. Основная система уравнений упругости
Полная система задачи статики упругого тела состоит из следующих
соотношений:
– соотношения Коши:
= 1
2
+
,
(2.1.1)
при этом условием сохранения соотношений между перемещениями и деформациями
в виде (2.1.1) являются условия совместности Сен-Венана
, +, −, −, =0;
– уравнения равновесия:
– закон Гука:
= +2,
– граничные условия в напряжениях:
= на ,
9
(2.1.3)
+ =0,
(1.5.1)
2(3 + 2) ,
(2.1.2)
Стр.9
– граничные условия в перемещениях:
=
() на .
2.2. Основные задачи статики
Задачи определения напряженно-деформированного состояния упругого
тела делятся на три типа.
1. Основная задача I типа. На всей поверхности тела заданы усилия,
в этом случае =.
2. Основная задача II типа. На всей поверхности тела заданы перемещения,
в этом случае =.
3. Основная задача III типа (смешанная). На одной части поверхности
заданы усилия, на остальной части – перемещения = +.
2.3. Уравнения равновесия упругого тела в перемещениях
(уравнение Ламе)
Очевидно, в задачах I и II типов в качестве основных неизвестных нерационально
выбирать напряжения, так как в этом случае граничные условия
принимали бы интегральный вид. Кроме того, задача упругости в общем виде
статически неопределима: имеются три дифференциальных уравнения относительно
шести компонент напряжений. Уравнений равновесия достаточно,
если в качестве основных переменных принять перемещения.
Выпишем уравнения равновесия (2.1.2) в перемещениях, заменив по
закону Гука (2.1.3) напряжения деформациями, а деформации перемещениями,
согласно соотношениям Коши (2.1.1):
=
=
= (+ )
+
+2=
+∇,
Уравнения (2.3.1) являются уравнениями равновесия, записанными в
∇ + (+ )
перемещениях. Они называются уравнениями Ламе.
Пусть массовые силы равны нулю. Продифференцируем (2.3.1) по :
Следовательно,
∇+ (+ )∇= 0.
∇= 0.
10
∇ + (+ )
=0,
(2.3.2)
+ =0.
(2.3.1)
+
=
+2
+
=
+∇ =
Стр.10