Текстовые задачи на движение и работу . <...> Текстовые задачи на доли и проценты . <...> Простейшие степенные функции с рациональным показателем 135 1.12. <...> Прямоугольный треугольник и прямоугольная система координат . <...> Углы в окружностях, касание окружности и прямой . <...> Текстовые задачи на движение и работу . <...> Текстовые задачи на доли и проценты . <...> Простейшие степенные функции с рациональным показателем 421 1.12. <...> Прямоугольный треугольник и прямоугольная система координат . <...> Углы в окружностях, касание окружности и прямой . <...> 7. a > b > 0, c > d > 0 =⇒ ac > bd (возможность почленного умножения неравенств одинакового смысла для положительных чисел). <...> Далее алгебраическими преобразованиями, не меняющими знака неравенства, формальное неравенство сводится к очевидному. <...> При исследовании делимости и решении уравнений в целых числах могут оказаться полезными формулы сокращённого умножения: a2 −b2 = (a+b)(a−b); (a+b)3 = a3 +3a2b+3ab2 +b3; (a−b)3 = a3 −3a2b+3ab2 −b3; a3 +b3 = (a+b)(a2 −ab+b2); a3 −b3 = (a−b)(a2 +ab+b2). (a+b)2 = a2 +2ab+b2; (a−b)2 = a2 −2ab+b2; Пусть при решении уравнения в целых числах удалось представить его в виде равенства, в левой части которого стоит произведение нескольких множителей с целочисленными коэффициентами, а в правой – целое число. <...> Далее воспользуемся свойством 8 о возможности почленного умножения n одинаковых неравенств для положительных чисел и перейдём к равносильному очевидному неравенству 100 > 90. <...> Для того чтобы привести положительное десятичное число к стандартному виду, можно воспользоваться следующим алгоритмом: • выписать значащую часть исходного числа; • поставить после первой значащей цифры десятичную запятую; • определить, на сколько разрядов сместилась десятичная запятая по сравнению с её положением в исходном числе (то есть сдвиг десятичной запятой); пусть сдвиг равен k; • учесть направление сдвига по следующему правилу: если после сдвига десятичной запятой получено число, меньшее исходного, то полученное число необходимо умножить на 10k ; если после сдвига <...>
Математика._Полный_курс_для_девятиклассников_с_решениями_и_указаниями.pdf
Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева,
М. В. Федотов
МАТЕМАТИКАПОЛНЫЙ КУРС
с решениями и укдля девятиклассников
Учебно-методическое пособие
азаниями
Под редакцией
М. В. Федотова
3-е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2021
Стр.2
ББКУДК 373.3:51
22.1я729
З-80
Золотарёва Н. Д.
З-80 Математика. Полный курс для девятиклассников с решениями
и указаниями : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под редакцией
М. В. Федотова. — 3-е изд., электрон. —М. : Лаборатория знаний,
2021. — 709 с. —(ВМК МГУ—школе). — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-540-0
Настоящее пособие содержит теоретический материал, подборку
задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач. Пособие
составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова.
Рекомендуется
школьникам при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ (базовый
уровень и первая часть профильного уровня), учителям математики,
репетиторам, руководителям кружков и факультативов,
преподавателям подготовительных курсов.
ББКУДК 373.3:51
22.1я729
Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика.
Полный курс для девятиклассников с решениями и указаниями
: учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева,
М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Федотова. — 2-е изд.,
испр. —М. : Лаборатория знаний, 2020. — 704 с. : ил. —(ВМК МГУ—
школе). —ISBN 978-5-00101-274-0.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-540-0
© Золотарёва Н. Д.,
Семендяева Н. Л.,
Федотов М. В., 2017
© Лаборатория знаний, 2017
Стр.3
Оглавление
От редактора ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
Предисловие ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
Часть I. Теория и задачи
1. Алгебра ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
1.1. Целые числа, делимость .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
5
6
7
7
8
1.2. Дроби .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 16
1.3. Иррациональные числа .
1.4. Буквенные выражения .
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 28
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 36
1.5. Текстовые задачи на движение и работу . . . . . . . . . . . . . 52
1.6. Текстовые задачи на доли и проценты . . . . . . . . . . . . . . 67
1.7. Числовые последовательности и прогрессии . . . . . . . . . . . 79
1.8. Понятие функции. Линейная функция, линейные уравнения,
неравенства, системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.9. Квадратичная функция. Квадратные уравнения и неравенства105
1.10. Модуль числа и алгебраического выражения . . . . . . . . . . 121
1.11. Простейшие степенные функции с рациональным показателем 135
1.12. Преобразование рациональных выражений, рациональные уравнения
.. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 149
1.13. Рациональные неравенства . ... .. .. ... .. .. ... .. . 162
1.14. Графики функций, графическое решение уравнений . . . . . 171
1.15. Задачи с параметрами .
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 184
2. Элементы комбинаторики и теории вероятностей . . . . . . . . . . . 201
2.1. Определение вероятности . ... .. .. ... .. .. ... .. . 201
2.2. Вероятность объединения событий, вероятность пересечения
событий . .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 204
2.3. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
2.4. Смешанные задачи . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 211
3. Планиметрия .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 213
3.1. Точка, прямая, треугольник ... .. .. ... .. .. ... .. . 213
3.2. Четырёхугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.3. Геометрическое место точек, простейшие геометрические построения
.. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 224
3.4. Прямоугольный треугольник и прямоугольная система координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.5. Преобразование подобия . . ... .. .. ... .. .. ... .. . 237
3.6. Углы в окружностях, касание окружности и прямой . . . . . 242
3.7. Свойства хорд и секущих, смешанные задачи . . . . . . . . . . 247
3.8. Произвольные треугольники, правильные многоугольники . . 250
3.9. Площади фигур .
. .
. .
Часть II. Указания и решения
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 255
261
1. Алгебра ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 261
1.1. Целые числа, делимость .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 261
1.2. Дроби .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 273
Стр.4
4
1.3. Иррациональные числа .
1.4. Буквенные выражения .
. .
. .
. . ... .. .. .. ... .. .. .. 284
. . ... .. .. .. ... .. .. .. 299
1.5. Текстовые задачи на движение и работу . . . . . . . . . . . . . 316
1.6. Текстовые задачи на доли и проценты . . . . . . . . . . . . . . 337
1.7. Числовые последовательности и прогрессии . . . . . . . . . . . 360
1.8. Понятие функции. Линейная функция, линейные уравнения,
неравенства, системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
1.9. Квадратичная функция. Квадратные уравнения и неравенства389
1.10. Модуль числа и алгебраического выражения . . . . . . . . . . 405
1.11. Простейшие степенные функции с рациональным показателем 421
1.12. Преобразование рациональных выражений, рациональные уравнения
. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 433
. . ... .. .. .. ... .. .. .. 453
. . ... .. .. .. ... .. .. .. 486
1.13. Рациональные неравенства .
. .
1.14. Графики функций, графическое решение уравнений . . . . . 473
1.15. Задачи с параметрами .
2. Элементы комбинаторики и теории вероятностей . . . . . . . . . . . 517
2.1. Определение вероятности . .. ... .. .. .. ... .. .. .. 517
2.2. Вероятность объединения событий, вероятность пересечения
событий ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 526
2.3. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
2.4. Смешанные задачи ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 545
3. Планиметрия . ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 554
3.1. Точка, прямая, треугольник .. ... .. .. .. ... .. .. .. 554
3.2. Четырёхугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
3.3. Геометрическое место точек, простейшие геометрические построения
.. .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 579
3.4. Прямоугольный треугольник и прямоугольная система координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
. . ... .. .. .. ... .. .. .. 602
3.5. Преобразование подобия . .
3.6. Углы в окружностях, касание окружности и прямой . . . . . 616
3.7. Свойства хорд и секущих, смешанные задачи . . . . . . . . . . 629
3.8. Произвольные треугольники, правильные многоугольники . . 643
3.9. Площади фигур .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 658
Ответы ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 677
Стр.5