ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2017, том 475, № 6, с. 605–608
МАТЕМАТИКА
УДК 517.958
О ТОЧНОСТИ АПОСТЕРИОРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
МАЖОРАНТ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ РЕШЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Представлено академиком РАН А.Н. Коноваловым 22.03.2017 г.
© 2017 г.
В. Г. Корнеев
Поступило 22.03.2017 г.
В сообщении получена новая апостериорная функциональная мажоранта погрешности приближённых
решений эллиптического уравнения порядка 2n, n ≥ 1, с произвольным неотрицательным
постоянным коэффициентом σ ≥ 0 в младшем члене вида σu, где u – решение уравнения. Она
существенно уточняет известную мажоранту Обэна, которая теряет смысл при σ ≡ 0 и огрубляет
оценку погрешности при σ из значительной окрестности нуля, а также другие мажоранты, полученные
в последние десятилетия для случая σ ≡ 0. Показано, что при применении к решениям метода
конечных элементов на квазиоднородных сетках новая апостериорная мажоранта неулучшаема
по порядку точности, совпадающему с порядком точности неулучшаемых априорных оценок
погрешности.
DOI: 10.7868/S086956521724001X
Для контроля погрешности приближённых
решений уравнений в частных производных
и построения адаптивных алгоритмов применяются
апостериорные оценки погрешности.
Такие оценки должны быть достаточно точными
и иметь линейную или близкую к линейной
вычислительную сложность. В связи с первым
требованием естественно ожидать, что апостериорная
оценка должна быть согласованной, т.е.
иметь одинаковый порядок точности с неулучшаемой
априорной оценкой. Апостериорными
функциональными мажорантами погрешности
называют оценки, обладающие значительной
общностью и иногда другими положительными
свойствами. Наиболее ранняя мажоранта
такого типа была предложена Ж.-П. Обэном [1].
Для приближенных решений задачи (4) в условиях
теоремы 1 она имеет вид (6), причём Θ=1
и θ= σ
рихле для уравнения Пуассона ∆+σ=
∈Ω m,| 0,⊂=
границей. При σ≡ 0 для погрешности его приближений
в [2] получена мажоранта ∀ε >
R
∂Ω
Санкт-Петербургский государственный университет
Е-mаil: vad.korneev2011@yandex.ru
605
uu fx
1 для всех σ> 0. Очевидно, при σ→ 0
точность мажоранты ухудшается и при σ= 0
она утрачивает смысл.
Пусть для простоты u – решение задачи Ди–(),
xu
в области с липшицевой
(0)
+
() ()
∇− ≤+ε∇ ++()
Ω1 1
vvz
u ΩΩ
LL
22
22
1
++ε
cf ,
где () ()Ω= ΩL
∇⋅ − ()
z
L
2
2
Ω
соответственно, а Ωc – постоянная из неравенства
Фридрихса. В [3, 4] для повышения точности
вектор z находился путём корректировки произвольного
вектора y, в частности приближённого
вектора потока =∇y
v ∂Ω= }|0 и () {Ω= ():Hy∈Ω di y L ()
2
0()::
11
,div
L
Ω= ∈Ωv
∈Ω
{
v до вектора, точно удовлетворяющего
уравнению баланса. В результате
в оценке типа (1) выражение под знаком первой
нормы правой части упрощалось или обращалось
в ноль, а под знаком второй нормы оказывалась
сумма одномерных интегралов от невязки.
В случае σ= cons ≥
2
|| ||2
⋅= ⋅+σ⋅ΩH ()
1
||vv ΩL ()
1
–( z1)
u || ≤+ε∇ ++
2
2
2
σ+ ε
f ––div.σv
z
cΩ(1 +ε)
L ()
2
2
Ω
(2)
2
L (),
2
t0, если обозначить
Ω то согласно [5]
()
(1)
L () ,m22 v и z – произвольные функция
и вектор-функция изHH()
2 v},
Стр.1
606
КОРНЕЕВ
Попытки улучшить мажоранту Ж.-П. Обэна, чтобы
она обеспечивала приемлемую точность при
всех σ≥ 0, делались и в других работах, см. [6].
Перечисленные мажоранты успешно применялись
при численном решении некоторых задач.
Тем не менее они, как и некоторые другие мажоранты
для случаев уравнений 2-го и 4-го порядков,
включая уравнения с σ≥ 0 из некоторой
(достаточно большой, как будет видно из дальнейшего)
окрестности нуля, не относятся к классу
согласованных. При этом огрубление ими погрешности
решений, например, м. к. э. (метода
конечных элементов) может быть значительным:
для решений эллиптических уравнений порядка
2 n в
O n раз. Цель настоящей работы – полу()
h
−
чить более точные согласованные апостериорные
мажоранты погрешности, порядки точности которых
такие же, как в неулучшаемых априорных
оценках. Например, из излагаемых результатов
вытекает, что при использовании линейных конечных
элементов и при
fL2 множитель
∈Ω
ch c =
qq
2,, ),m…
ПустьDx xx q = (q1,
m ≤ 3, и qk – целые неотри2,const,
если принять, например, ε= 1.
q
qvv 1
положительно определённая на Ω⊂ R ,m ∂Ω –
граница области Ω. Границу ∂Ω и коэффициенс
коэффициентами ∈Ω
ax ∞L()
A ax ={( )}
,
q,p
y {} n
p
y
p =
упорядочим так, что
{}
Ay
операторы , *DD и L посредством выражений
=
() = ∑ ()
=
q,p
p
n
Dvv
ww Da Dw
qp n
*
A
(1).
q
q
qp
,
p
,
aw
(,)( )
n
(, )v формулой Грина
def
qp
{} ,pn
p
D =
D*
y ∑(1),
q n
=− ()
=
q q q
Dy
LD D ∑ ()== −
=
Последний из них ассоциирован с билинейной
формой aw
=+ ∑ κγ
nk
(,)( ,) ,ii
in
vv
Lww
==
= Ω
||,| |∑ ∫aD wD dx
q,p
pq
vv (3)
0–1
Ω∂Ω
≤≤
в которой γk и κk – дифференциальные операторы
порядков k и −−
щие существенным и естественным краевым
условиям для оператора L, а
(,),
Ω = ∫
Ω
21, соответствуюwwdxvv
и
ay ,
p и введём дифференциальные
=∂ ∂∂ …∂12 m
2
m
q
/,
qq
цательные числа, | q | = q1 + q2 + ... + qm,
=
q,p qp n – симметричная матрица
(), равномерно
ты аq,p везде, где нет уточнений, предполагаем достаточно
гладкими. Коффициенты векторов (вектор-функций)
= ()
q
в (1) перед второй нормой справа должен иметь
вид
()
(,).
wwdsvv Мы опускаем описания опе∂Ω
= ∫
∂Ω
раторов κk и соответствующих им операторов
βk,
κ= Dβ
uu
()
Ω= ()
2
=∈ Ω∈ ΩL
Hw∈Ω ∈ΩHw L
yL y():()2* 2
{}
||()
(,)():
D
||uu uu au u,(,),
0≤ =const,
=+σ=
σ
2
2
1/2
aL()
2
Ω
2
a
]| y |[ = [y, y]Ω
1/2, ]| y |[A = [y, Ay]Ω
1/2,
[,].
yz
Ω = ∫
Ω
yzdx
В качестве модельной рассмотрим краевую задачу
R
L +σ=∈Ω⊂
∂Ω
kk
kk
∂Ω
1.
γ=ψ≤ ≤
κ=ψ+ ≤≤ −
uu fx x
uk j
uj kn
задачи ∈Ω то под σ* понимаем величину
в неравенстве
Ес л и ∈Ω =∈ Ωγ =ψ∂ΩHH u
0≤≤ }kj – какое-либо приближение решения
uH ,
vv
n
0 ()
u − v L () ≤σΩ
2
2
−1
u − v a
2
краевой задачи (4), v – произвольная функция из
пространства ()
Те о р е м а 1. Пусть ∈Ω
H Ωn
uH ,
0 L – решение
n
0
()
и ∈Ωz H(, )*D – произвольная
вектор-функция, удовлетворяющая краевым условиям
β=ψ∂Ωz |kk для +≤ ≤−jk n
11. Тогда при
любом σ≥ 0 выполняется оценка
≤σ,σ ,, ,=
=Θ ]|Az (6)
κ= σ
σ*
M()f
2
D −| θ−σ− ∗z L ()],
v–uv
vv
2
∗
[+1
A
−
f
D
2
2
Ω
в которой Θ и θ суть непрерывные функции от
вида
Θ= +κ σ∈ σ
σσ
1 ,[0,
1, >;
2
*
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 475 № 6 2017
*],
z
* .
(5)
0() {( ): |,
nn
kk
(),;
m
|, 0;
|, 11,
(4)
со смешанными краевыми условиями, считая для
простоты ≥j
nn () ,
LL 2
Далее используются кроме того пространства
С.Л. Соболева
пространствa
Ω= {} H(Ω, D*) =
и нормы
kkA , которые можно найти в [1, 7].
HW Ω ,kk
Стр.2
О ТОЧНОСТИ АПОСТЕРИОРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МАЖОРАНТ...
θ= σ σ∈ σ
σ
=
1,[0,
σ> σ*
ab ab aa bb() ()
ab ≥kk и ε> 0 . Для погрешности =−
позволяют получить
11 22
,0
|| ||2
=, −+ ,σ +− ≤
≤, +ε ,| −| +
2
[( )]Ω ((
12/
AA Az
−1
Ω
+σ ,= ,− +
+, −+σ, =
DDvv ∗z
eu ee
ee f
aeeee
() [( )]
(( )) ()
=, −+ −+
−1
ee DD Ω
∗ ΩΩ
D
[]
v
DDv
Ω
eaee ee
eu
Az zA
AA Az
=, +σ ,=
D Ω
() ()Ω
e
D zAD
))Ω
{( )( )} ][
1
Dv
Ω
+ ε −σ−.v D
f
(8)
∗z L ()
2
}
приводит к оценке
uu 2vv ()L Ω
≤+ σ−σ β
σ
1( ∗
)
∗
−+σ− ≤
2
2
a
2
∗
∗
+−βσ −σ +σ − v 2
[(1)() ]. (9)
−+
u
u
Оценки (8) и (9) при β= +κ
1
1
условий:
А) в (4) =−
и HL ,cc A,const;
В) на Ω задан комплекс геометрически совfL
Ω2
n
uc f22
()≤ () =Ω =
задача (4) имеет решение ∈Ω
ΩΩ оо ()
местных конечных элементов, удовлетворяющий
обобщённым условиям квазиоднородности
с параметром сетки h , см. [8, 9], где h –
максимальный из диаметров конечных элементов.
Комплекс индуцирует пространство
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 475 № 6 2017
v a
L ()
2
Ω
подтверждают
справедливость оценки (6), (7) для σ≤ σ .*
Сформулируем несколько дополнительных
jn 1 ψ≡0k для =… −kn
0,1, ,1;
Б) область Ω и матрица А таковы, что при σ≡ 0
∀∈ ()
uH ()n2
Обэна, совпадающая с оценкой (6), (7) для σ≥ σ ,*
см. [1, теоремы 10.1.4, 10.1.6]. Для значений σ≤ σ*
полагаем =σ ,*
Из (8) при ε= σ непосредственно следует оценка
что при β∈ (0,1] с помощью (5)
12/
{ Az −1
2
A
+≤ +ε
1
ww
−
2
1 +ε 2
2
1,.
*
*],
(7) −≤
≤ ′ ≤
V Ω⊂ ΩH()
∀∈ ΩwH ()l
I
h
0
nl l, где I – линейный оператор.
Положительное целое l характеризует, очеww
ch w H (), k = 0, 1, ..., n,
H ()
k
Ω
В основе доказательства лежат формула
Грина (3) при краевых условиях (4), равенство
LD*AD
и неравенство Коши
21 21/2
eu
21/2 для любых
v они
kl
,
lk′−
l ′ Ω
видно, степень точности метода. Условие А)
введено лишь с целью избежать учёта оценок
аппроксимации главных и естественных краевых
условий. Введём также обозначения µµ
для положительных постоянных в неравенствах
µ≤ ≤µ ∀∈Ωx
12
,
матрица.
Л е м м а 1. Пусть выполняются условия А),
стоянной ccc ,nt snlnmin( ,) и
= min(2, ).
Б), В), ∈Ω ≥
uH (),
r
†
tnl
= µ
µ
получим 22
откуда следует, что при таких f лемма применима
по крайней мере к м.к.э. порядка точuc
fHL
n()≤ ()
ΩΩпри ∀σ ≥ 0,
ности ∀= +…hl nn 1, ,2 . Дополнительно
ee для =−femfem и
l,, n
в доказательстве леммы используются неравенство
≤
fe LLm () fe ()22
fe =−
ΩΩ eu u
(4) и ufe – решение м.к.э. для той же задачи при
σ≡ 0, и оценка для Ω
ма Нитше [10]. Для =n 1 и σ= 0 лемма доказана
в [11].
С ле д с т в ие 1. Согласно теореме 1 и лемме 1
при ≥ 2 и σ≤ σ* для погрешности efem решений
eu u ,fe где ufem – решение м. к.э. для задачи
e Lfe ()2
посредством приёln
м.к.э.
имеем апостериорную оценку
D
|| −≤fem
uu||2
2
1 ch
†
+σ
2n
ch fufem
† ,
D
∗
2
L ()
2
Ω
]| −+ufem
2
+−σ−
2n
м. к. э. повышенной гладкости, т. е.
VV
h Ω= Ω⊂ Ω
() ()
h
(2n)
H (),
2n
что характерно для изогеометрических м. к. э., получивших
распространение при решении эллиптических
уравнений 2-го порядка [12]. Действительно,
пусть ∈Ω ≥uH ln(),2 ,
l
H
k
kl
,
место оценки скорости сходимости
lk
ufem
−≤
=…
Ω
uufem () ch u H Ω
0,1, ,2 .
−
kn
∈Ω
()
V
h (),
n
2
l(),
имеют
(11)
Az
z
|[A−1
(10)
относящуюся к согласованным.
Согласованность очевидна при применении
Eсли ∈Ω то, опираясь на условие Б),
2 o
fL ,
2
()
2
1
, где =−
rn. Тогда σ≤
− ch s
1
*
†
12 где I – единичная
II,,
A
2 с по607
n(),
в котором для некоторого ≥
найдётся такое приближение w,I что
ln
ε
Стр.3