УДК 517.954 О СЛАБОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ* Е. А. Критская, В. В. Смагин Воронежский государственный университет В гильбертовом пространстве для абстрактного линейного параболического уравнения с нелокальным интегральным условием на решение доказана с помощью аппроксимации точной задачи по Галеркину теорема существования и единственности слабого решения. <...> Предполагается, что задана тройка сепарабельных гильбертовых пространств VH VГГ ¢ , где пространство ¢V — двойственное к V , а пространство H отождествляется со своим двойственным ¢H . <...> На uv V,Œ определена полуторалинейная форма au v (), . <...> Очевидно, что форма au v , (1) (), порождает линейный ограниченный оператор AV V:Ж ¢ такой, что для uv V,Œ выполняется au v Au v() ( VV £ . <...> Здесь под выражением типа () понимается значение функционала zV Ж ¢ zv, элементе vV Œ . <...> Для zH раболическую задачу: ¢ += , ut Au t f t () () () силу отождествления HH скалярным произведением в H . <...> В случае когда в (2) вместо интегрального условия задано начальное условие uu есть для параболического уравнения рассматривается задача Коши, вопросы существования слабого решения обсуждаются, например, в [1], [2]. <...> При доказательстве слабой разрешимости задачи (2) в настоящей работе используется, как и в [2], аппроксимация точной задачи приближенной по Галеркину задачей с последующим обоснованием соответствующего слабого Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 07-01-00131. <...> Заметим также, что разрешимость задачи типа (2) при других более существенных ограничениях на исходные данные изучалась в [3]. <...> Определим необходимое нам множество DA v V Av H} =Œ | Œ . <...> ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ шения ut1 Предположим, что задача (2) имеет два ре() и ut2 () . <...> Затем первое равенство в (4) умножим скалярно в H на ut (), возьмем удвоенную вещественную часть и проинтегрируем от 0 до T . <...> Получим ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ Пусть {} 1 — полная линейно независимая jii= • система элементов <...>