Воробьев, М. Ю. Романова Воронежский государственный университет Данная статья посвящена оценкам норм степеней матрицы с известным спектром. <...> Полученные результаты могут быть использованы для получения оценок решений дифференциальных уравнений, в вопросах робастности систем управления, а так же при изучении устойчивости марковских процессов. <...> Аналогичный подход в доказательстве был использован И. М. Гельфандом, Г. Е. Шиловым, при оценке нормы матричной экспоненты. <...> ОБЩИЕ ОЦЕНКИ пространство квадратных матриц с комплексными коэффициентами и норма выбрана так, что выполняется неравенство: AB A B£ для всех AB Пусть Matrm оценки нормы степеней матрицы An m ,Matr (C). <...> Пусть A – произвольная матрица ℓ-го порядка с комплексными элементами и ll1 , ., m где rA и – ее собственные значения. <...> Следует отметить, что для любого ограниченного оператора AX X : Ж , действующего в банаховом пространстве X , для любого e > 0 существует такое M ≥ 1, что имеют место оценки вида AMr A nnn £+ ≥ 1. (( ) ) , e Данная теорема уточняет эти оценки. <...> Для этого используется метод Гельфанда—Шилова [1, лемма 1]. <...> Вначале предположим, что матрица A имеет простые собственные значения, следовательно, = m . <...> Тогда fA An n ll представим в виде многочлена от матрицы RA l , который в точках спектра () = . <...> Далее последовательно полагая ll l , l2) А. А. Воробьев, М. Ю. Романова Коэффициенты можно оценить с помощью интегрирования в комплексной плоскости. <...> () Подводя итог нашим рассуждениям, приходим к окончательной оценке: n - + . <...> Оценим норму n-ой степени исходной матрицы: ArA B=◊ = r A ◊() B PA E). <...> Эта оценка получена в предположении, что собственные значения матрица различны. <...> По теореме Шура об унитарной триангуляции матриц [2], [3], существует унитарная матрица U такая, что AUBU= -1 = , .,1 , где Bbij матрица с диагональными элементами bii im. <...> Тогда Ar A p nnn im = , .,1 по xk Ж0 мы получим оценку: Ar A p nnn xx x где A – произвольная матрица. <...> ОЦЕНКИ ДЛЯ МАТРИЦЫ ПРОСТОЙ <...>