ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2002, ¹ 1 УДК 517.925.52 МЕТОД НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНЫХ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ © 2002 г. А. И. Перов, И. Д. Коструб Воронежский государственный университет В 1958 г. М. А. Красносельский и А. И. Перов в сообщении [1] предложили новый метод доказательства существования периодических, почти-периодических и ограниченных решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, получивший впоследствии название метода направляющих функций (М. А. Красносельский). <...> Основная идея метода была высказана А. И. Перовым еще раньше в 1956 г. Подробное изложение метода в периодическом и ограниченном случаях было дано в одной из глав кандидатской диссертации А.И.Перова [2]. <...> Так как метод направляющих функций тесно связан с такими топологическими понятиями как вращение векторного поля (степень отображения), гомотопные векторные поля и индекс особой точки (индекс Пуанкаре), то совершенно естественно, что он нашел отражение в монографии «Векторные поля на плоскости» [3] (переведенной, кстати сказать, на немецкий и английский языки), в которой были указаны первые и наиболее элементарные его положения, касающиеся периодических и ограниченных решений нелинейных систем двух дифференциальных уравнений. <...> В то время как обоснование метода для периодических и ограниченных решений не вызвало никаких особых затруднений, почтипериодический случай (справедливость которого была угадана почти на интуитивном уровне) оказал серьезное сопротивление. <...> В статье [4], опубликованной в 1963 г. М. А. Красносельским было написано следующее: «Более общие условия невырожденности системы дают теоремы, приведенные в [1] (к сожалению, доказательства утверждений из [1], относящихся к почти-периодическим решениям, оказались неполными; утверждения об ограниченных и о периодических решениях верны без изменений)». <...> Посвященная специально нелинейным почти-периодическим колебаниям и вышедшая <...>