ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2001, ¹ 1 РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКА УДК 51.925.51 УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ © 2001 г. Е. П. Белоусова Воронежский государственный университет Пусть дискретный марковский процесс описывается нелинейной системой разностных уравнений x t( 1)+ = f t x t ( , ( )), t = ± ± 0, 1, 2,. <...> устойчивого и асимптотически устойчивого решения, предварительно определив симплекс Здесь f(t,x) непрерывная n-мерная вектор-функция. <...> Будем предполагать, во-первых, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f(t,0) = 0 и, во-вторых, что правая часть функция f(t,x) непрерывно дифференцируема по переменным x1 , ., xn . <...> Напомним определения Wx R=∈ ≥{: 0,∑ = 1}. n n x ii i x =1 ся устойчивым по Ляпунову, если для любого малого Нулевое решение (система (1)) называет> 0 существует для любого начального условия x(t0 x t ющее решение x(t) удовлетворяет условию ( ) < e тически устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову и кроме того Нулевое решение (система (1)) асимптоx( ) ®t ( )>0 такое, что ), удовлетворяющего условию x t0( ) < d , соответствупри всех t ≥ .t 0 0 при t ® 0. <...> Эти определения остаются справедливыми, если система (1) рассматривается в гиперплоскости L x R :е = 0}. i 1 = О n { = n xi Система (1) называется эргодической, если существует единственное решение ( )t x(t) с таким начальным условием стремится к ( )t при t → ∞, т.е. x t − →t( ) и при любом x t W∈)( 0 ( ) t →∞. <...> Предположение о непрерывной дифференцируемости по x функции f(t,x) позволяет нам воспользоваться леммой Адамара [2]. <...> является марковской, то при любых (t,x) справедливы соотношения (3) (4) δ ε ε π π π 62 Е. П. Белоусова где через M(t,x) обозначим M(t,x,0). <...> Тогда M(t,x) = (mij (t,x)), i,j = 1, ., n квадратная n nЧ матричная функция, которая <...>