Педагогические науки, № 6, 2014 Локшин А.А., доктор физико-математических наук, профессор Иванова Е.А., кандидат физико-математических наук, доцент (Московский педагогический государственный университет) ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ НА «ДИАГОНАЛЬНЫЙ» МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Эта заметка посвящена доказательству следующей теоремы. <...> При каждом натуральном n справедливо утверждение: делится нацело на ( (1) Замечание. <...> Трудно сказать, может ли утверждение (1) быть доказано по индукции «лобовым» способом. <...> Однако (1) очень просто выводится при помощи «диагонального метода индукции» в качестве побочного результата из несложной задачи на делимость полиномов. <...> Действительно, полагая в левой части (2) n = k + 1, проведем тождественные преобразо]a – a [-a + ], что и требовалось установить. <...> Применяя к каждому новому получающемуся соотношению по очереди преобразование (8) или (9) переменной a, получаем остальные соотношения (5), (6) и (7). <...> Соотношение (7) получается из (6) в результате замены (8). <...> Если теперь (соблюдая очередность производимых замен) применить замену (9) к соотношению (7), то получим исходное соотношение (2). <...> Тем самым, продолжать процесс после получения соотношения (7) не имеет смысла – мы будем получать уже полученные ранее результаты. <...> Мы могли бы, отправляясь от (2), чередовать замены (8) и (9) в другом порядке. <...> Сначала применить к (2) замену (9), затем к получившемуся соотношению – замену (8) и так далее. <...> В результате мы пришли бы все к тому же набору соотношений (2) – (7), расположенных в другом порядке. <...> Нетрудно видеть также, что каждое из преобразований (8), (9), будучи применено дважды, превращается в тождественное преобразование переменной a. <...> . Точно так же, выбирая, например, натуральный параметр a в пределах от 3 до 7, мы можем с помощью вышеприведенной леммы легко получить 30 однотипных (но различных!) задач на применение метода полной математической индукции. <...> Результат, который может оказаться полезным при проведении контрольных работ <...>