А.Ф. Владимиров
ТЕОРИЯ НАПРАВЛЕННЫХ ОТРЕЗКОВ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕКТОРОВ
учебно-методическое пособие для студентов и преподавателей
Рязань 2010
УДК [378.147+371.3]:514.742.2
Учебное пособие обсуждено на заседании кафедры высшей математики Рязанского
государственного агротехнологического университета и рекомендовано к опубликованию
«30» августа 2010 г. Протокол № 1. <...> Вектор
объявляется направленным отрезком, тем самым множество приравнивается своему
элементу. <...> Сонаправленные отрезки одинаковой длины объявляются равными, хотя они
таковыми в математическом смысле не являются, будучи всего лишь эквивалентными. <...> Проекции направленных отрезков и векторов на оси
22 <...> Равенство координат и проекций вектора в декартовом базисе
24 <...> Скалярное произведение направленных отрезков и векторов
26 <...> Векторное произведение направленных отрезков и векторов
28 <...> Смешанное произведение направленных отрезков и векторов
34
Заключение
36
Библиографический список
37
3
Введение
И в школе, и в вузе давно учат: “Вектор – это направленный отрезок прямой”, –
например [1, с. <...> Такое
определение делает слово «вектор» просто синонимом словосочетания «направленный
отрезок». <...> Далее направленные отрезки, названные векторами, определением насильственно
приравниваются, если они сонаправлены (коллинеарны и имеют одинаковые направления) и
имеют равные длины. <...> Два бинарных отношения эквивалентности «быть сонаправленными»
и «иметь равные длины» насильственно объявляются отношением равенства. <...> Получается для
направленных отрезков, что AB CD , но при этом оказывается возможным для точек, что
A C или B D . <...> Объявить закреплённые граничными точками направленные отрезки
свободными трудно, но, освободившись в символе « a » вектора от граничных точек,
психологически уже легче объявить вектор свободным, однако при этом свободное всё-таки
насильственно <...>
Теория_направленных_отрезков_и_геометрических_векторов.pdf
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Департамент научно-технологической политики и образования
ФГОУ ВПО «Рязанский государственный агротехнологический университет
имени П.А. Костычева»
Кафедра высшей математики
А.Ф. Владимиров
ТЕОРИЯ НАПРАВЛЕННЫХ ОТРЕЗКОВ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕКТОРОВ
учебно-методическое пособие для студентов и преподавателей
Рязань 2010
Стр.1
УДК [378.147+371.3]:514.742.2
Учебное пособие обсуждено на заседании кафедры высшей математики Рязанского
государственного агротехнологического университета и рекомендовано к опубликованию
«30» августа 2010 г. Протокол № 1.
Зав. кафедрой высшей математики,
канд. физ.-мат. наук, доцент
Е.И. Троицкий
Учебное пособие утверждено методической комиссией учётно-финансового факультета
Рязанского государственного агротехнологического университета
«___» ______________ 2010 г. Протокол № ___.
Председатель методической комиссии
учётно-финансового факультета,
кандидат экономических наук, доцент
О.В. Чепик
Теория направленных отрезков и геометрических векторов: учебно-методическое пособие
для студентов и преподавателей /А.Ф. Владимиров. Рязань: Рязанский ГАТУ, 2010. – 37 с.
В настоящее время в школе и вузах сложилась теория и практика преподавания векторной
алгебры, которая базируется на логически противоречивых определениях. Вектор
объявляется направленным отрезком, тем самым множество приравнивается своему
элементу. Сонаправленные отрезки одинаковой длины объявляются равными, хотя они
таковыми в математическом смысле не являются, будучи всего лишь эквивалентными. Эти
логические ошибки многие десятилетия кочуют по учебно-методической литературе, а
попытки их преодоления не последовательны. В настоящем пособии предпринята попытка
последовательного изложения теории направленных отрезков и векторов. Предстоит ещё
большая работа по созданию новых задачников по этой теории. Пособие предназначено как
для студентов, так и для преподавателей математических и смежных с математикой
дисциплин.
Рецензенты:
Е.И. Троицкий, кандидат физико-математических наук, доцент;
В.В. Текучёв, доктор экономических наук, профессор
2
Стр.2
Содержание
Введение…………………………………………………………………………………..
1. Направленные отрезки и их классы эквивалентности. Векторы
2. Линейные операции над отрезками и векторами. Понятие линейного пространства
3. Линейная комбинация векторов. Разложение вектора по базису
4. Об исправлении формы задач в учебных пособиях по векторной алгебре
5. Угол между направленными отрезками и углы между векторами
6. Проекции направленных отрезков и векторов на оси
7.
Равенство координат и проекций вектора в декартовом базисе
8. Скалярное произведение направленных отрезков и векторов
9. Векторное произведение направленных отрезков и векторов
10. Смешанное произведение направленных отрезков и векторов
Заключение
Библиографический список
4
5
9
14
19
20
22
24
26
28
34
36
37
3
Стр.3