Математика и механика УДК 517.9 О приближенном решении дифференциальных уравнений, общее решение которых зависит от константы алгебраически М. Д. Малых Факультет наук о материалах Московский государственный университет им. <...> М.В. Ломоносова Ленинские Горы, Корпус «Б», Москва, Россия, 119991 Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей Российский университет дружбы народов ул. <...> 6, Москва, Россия, 117198 Методы аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) основаны на анализе особенностей, но самый популярный метод для численного решения, а именно метод конечных разностей, не работает вблизи особенностей. <...> Однако Пенлеве дал алгебраический метод для решения в конечном виде дифференциальных уравнений, общие решения которых зависят от константы интегрирования алгебраически. <...> Этот подход, который был представлен как своеобразная теория Галуа, напротив, может быть хорошо увязан с методом конечных разностей. <...> Как известно, обыкновенное дифференциальное уравнение вида y′ = f(x, y), обладающее этом свойством, может быть преобразовано алгебраически заменой к уравнению Риккати. <...> Схема Эйлера yn+1 = yn + f(xn, yn)∆x всегда задаёт (1, k)-соответствие между соседними слоями. <...> В то же время точное решение уравнения Риккати задаёт (1, 1)-соответствие между любыми слоями и поэтому мы можем написать схему, задающую (1, 1)-соответствие между соседними слоями. <...> В этом случае ангармоническое отношение четырёх точек не меняется от слоя до слоя не только для точного, но также и для приблизительного решения. <...> Таким образом, если у точного решения имеется полюс, то приближенное решение проходит через бесконечность без накопления ошибки. <...> Таким образом, причина разрушения приближенного решения около полюса спрятана в саму схему Эйлера. <...> В более общем случае, когда точное решение обыкновенного дифференциального уравнения зависит от постоянной интегрирования алгебраически, мы можем написать схему, которая задаёт <...>