44 Краткие сообщения УДК 512.813.4 НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ КОНСТРУКЦИИ ОБЕРТЫВАЮЩИХ АЛГЕБР И БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ НА НИХ Н. Н. <...> Шаповалов1 Работа посвящена описанию результатов, полученных за последние годы автором в области изучения универсальных обертывающих алгебр комплексных редуктивных алгебр Ли и некоторых их расширений. <...> Именно рассматриваются расширения таких обертывающих алгебр и билинейных форм на них, а также некоторых связанных модулей и алгебр на алгебры над полями рациональных функций на подалгебрах Картана. <...> Ключевые слова: алгебра Ли, обертывающая алгебра, свободный модуль, система корней, билинейная форма, весовое подпространство. Тhе paper is devoted to description of some results obtained recently by the author in the field of study of universal enveloping algebras of complex reductive Lie algebras and some their extensions. <...> Namely, extensions of enveloping algebras of this kind and of bilinear forms on them and also some related modules and algebras to algebras over rational function fields on Cartan subalgebras are considered. <...> Key words: Lie algebra, enveloping algebra, freemodule, root system, bilinear form,weighted subspace. <...> Настоящая заметка содержит некоторое обобщение результатов, приведенных в [1]. <...> Пусть g — редуктивная алгебра Ли над полем C. <...> Определим ассоциативную оболочку алгебры g, которая будет расширением универсальной обертывающей алгебры U(g). <...> Выберем подалгебру Картана h ⊂ g,и пусть R(h) — поле частных алгебры U(h). <...> Заметим,что алгебра U(h) коммутативна и, естественно, изоморфна симметрической алгебре S(h), т.е. алгебре всех полиномов на дуальном пространстве h∗. <...> Соответственно R(h) изоморфно полю рациональных функций на пространстве h∗. <...> Согласно теореме Пуанкаре–Биркгофа–Витта, U(g) является свободным U(h)-модулем с базисом из мономов −αm · ermαm · . <...> · er1α1 , где eα ∈ g — корневой вектор, отвечающий корню α ∈ ∆; ∆ — система всех ненулевых корней алгебры g относительно h; ∆+ = {α1,. ,αm <...>