Введение в теорию концентрированных вихрей (150,00 руб.)

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

Стр.11

Стр.12

ББК 22.253.3 А 47 Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. − Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. – 504 с. В монографии систематизированы и обобщены сведения о концентрированных вихрях, наблюдаемых в природе и технике. Рассмотрены основные методы исследования их кинематики и динамики. Особое внимание уделено течениям с винтовой симметрией. Описаны модели вихревых структур, применяемые при интерпретации экспериментальных данных и служащие базисом для развития теоретических и численных подходов к изучению вихрей. Представлены достижения в области анализа устойчивости, волн на вихрях и явление распада вихря. Для научных работников и инженеров, интересующихся вихревыми течениями, а также преподавателей, аспирантов и студентов соответствующих вузов. Табл. 12. Ил. 234. Библиогр.: 348 назв. ISBN 5-93972-397-7 Alekseenko S.V., Kuibin P.A., Okulov V.L. Introduction to theory of concentrated vortices. – Institute of Computer Science, Moscow-Izhevsk, 2005.– 504 p. Knowledge about concentrated vortices observed in nature and technique is systematized and generalized in the book. The methods for research of their kinematics and dynamics are considered. Special attention is paid to the flows with helical symmetry. Models of vortex structures used for interpretation of experimental data are described. These models serve as a ground for development of theoretical and numerical approaches to vortex investigation. Achievements in the fields of stability analysis, waves on vortices and vortex breakdown are presented. For researchers and engineers concerned with vortex flows as well as for teachers, postgraduates and students of corresponding universities. Tab. 12. Ill. 234. Ref.: 348 ISBN 5-93972-397-7 Рецензенты: академик РАН В.В. Козлов член-корреспондент РАН В.В. Пухначев профессор П.И. Гешев Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №04–01–14014. © С.В. Алексеенко, П.А. Куйбин, В.Л. Окулов, 2005 © Институт компьютерных исследований, 2005

Стр.4

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ..................................................................................................................... 13 Введение ........................................................................................................................... 16 Глава 1. Уравнения и законы вихревого движения 1.1. Завихренность. Циркуляция ............................................................................... 24 1.2. Динамика завихренной жидкости ...................................................................... 28 1.2.1. Уравнения движения идеальной жидкости ............................................ 28 1.2.2. Теоремы динамики идеальной завихренной жидкости ......................... 30 1.2.3. Теорема Бернулли ..................................................................................... 33 1.2.4. Уравнения движения вязкой жидкости ................................................... 35 1.3. Уравнения движения в ортогональных координатах ...................................... 36 1.3.1. Произвольная ортогональная система криволинейных координат ...... 36 1.3.2. Декартова система координат .................................................................. 39 1.3.3. Цилиндрическая система координат ....................................................... 40 1.3.4. Сферическая система координат ............................................................. 41 1.4. Частные случаи движения завихренной жидкости .......................................... 43 1.4.1. Винтовые потоки (течения Бельтрами) ................................................... 43 1.4.2. Двумерные течения ................................................................................... 46 1.4.3. Одномерные течения ................................................................................ 53 1.5. Течения с винтовой симметрией ........................................................................ 54 1.5.1. Вывод уравнений ...................................................................................... 54 1.5.2. Течения с винтовой завихренностью ...................................................... 56 1.5.3. Винтовые потоки с винтовой симметрией поля течения ...................... 59 1.6. Определение поля скоростей по источникам и вихрям ................................... 60 1.7. Вихревые силы и инварианты вихревого движения ........................................ 64 1.7.1. Вихревые силы .......................................................................................... 64 1.7.2. Вихревой импульс и вихревой момент импульса .................................. 71 1.7.3. Кинетическая энергия ............................................................................... 76 1.7.4. Спиральность ............................................................................................. 77 1.7.5. Инварианты двумерных течений ............................................................. 79 Глава 2. Вихревые нити 2.1. Геометрия вихревых нитей ................................................................................ 84 2.2. Закон Био – Савара .............................................................................................. 88 2.3. Прямолинейная бесконечно тонкая вихревая нить .......................................... 91 2.3.1. Вихревая нить в идеальной жидкости ..................................................... 91 2.3.2. Диффузия вихревой нити ......................................................................... 95 2.4. Самоиндуцированное движение вихревой нити .............................................. 97

Стр.5

6 Оглавление 2.5. Бесконечно тонкое вихревое кольцо ............................................................... 101 2.6. Бесконечно тонкая винтовая вихревая нить ................................................... 106 2.6.1. Винтовая нить в безграничном пространстве ...................................... 106 2.6.2. Винтовая нить в цилиндрической трубе ............................................... 112 Глава 3. Модели вихревых структур 3.1. Вихревая пелена ................................................................................................ 125 3.2. Пространственно локализованные вихри ....................................................... 130 3.2.1. Вихревое кольцо ..................................................................................... 130 3.2.2. Сферический вихрь Хилла ..................................................................... 138 3.2.3. Сферический вихрь Хикса ..................................................................... 141 3.3. Колоннообразные вихри в идеальной жидкости ............................................ 147 3.3.1. Вихрь Рэнкина ......................................................................................... 147 3.3.2. Вихрь Гаусса ............................................................................................ 149 3.3.3. Одномерный винтовой поток ................................................................. 150 3.3.4. Одномерные (колоннообразные) винтовые вихри ............................... 151 3.3.5. Q-вихрь .................................................................................................... 158 3.3.6. Винтовой вихрь с ядром конечного размера ........................................ 159 3.4. Вязкие модели вихрей ...................................................................................... 163 3.4.1. Вихрь Бюргерса ....................................................................................... 163 3.4.2. Вихрь Салливана ..................................................................................... 166 Глава 4. Устойчивость и волны на колоннообразных вихрях 4.1. Типы возмущений ............................................................................................. 167 4.2. Неустойчивость вихревой пелены ................................................................... 169 4.3. Волны в жидкости с твердотельным вращением ........................................... 172 4.3.1. Плоские волны ........................................................................................ 172 4.3.2. Осесимметричные волны ....................................................................... 177 4.3.3. Столб Тейлора ......................................................................................... 180 4.4. Линейная неустойчивость вихря Рэнкина с аксиальным течением ............. 182 4.4.1. Дисперсионные соотношения ................................................................ 182 4.4.2. Линейный анализ временной неустойчивости ..................................... 188 4.4.3. Линейный анализ пространственной неустойчивости ........................ 197 4.5. Волны Кельвина ................................................................................................ 199 4.5.1. Дисперсионные уравнения ..................................................................... 199 4.5.2. Осесимметричная мода, m = 0 ............................................................... 200 4.5.3. Изгибная мода, m = 1 .............................................................................. 202 4.5.4. Эволюция начальных локализованных возмущений. Механизмы распространения волн ....................................................... 205 4.6. Неустойчивость Q-вихря. Критерии неустойчивости ................................... 213 4.6.1. Критерии неустойчивости ...................................................................... 213 4.6.2. Неустойчивость Q-вихря. Невязкий анализ ......................................... 215 4.6.3. Неустойчивость Q-вихря. Вязкий анализ ............................................. 221

Стр.6

Оглавление 7 4.7. Линейные и нелинейные волны на колоннообразных вихрях типа Q-вихря ..................................................................................................... 225 4.7.1. Осесимметричные нелинейные стоячие волны .................................... 225 4.7.2. Осесимметричные слабонелинейные бегущие волны ......................... 230 4.7.3. Изгибные волны ...................................................................................... 236 Глава 5. Динамика вихревых нитей 5.1. Метод усечения ................................................................................................. 246 5.2. Самоиндуцированное движение винтовой вихревой нити произвольного шага .......................................................................................... 254 5.3. Солитон Хасимото ............................................................................................ 268 5.4. Применение баланса импульса к описанию динамики вихревых нитей ...... 279 5.4.1. Силы, действующие на вихревую нить ................................................. 279 5.4.2. Вывод уравнений баланса сил ............................................................... 281 5.4.3. Полый вихрь ............................................................................................ 291 5.4.4. Вихревая нить с внутренней структурой .............................................. 293 5.4.5. Учет внутренней структуры ядра .......................................................... 298 5.4.6. Модифицированные уравнения движения вихревой нити .................. 302 5.5. Метод сращиваемых асимптотических разложений ...................................... 302 5.5.1. Вывод уравнения движения вихревых нитей ....................................... 303 5.5.2. Локальное индукционное приближение ............................................... 309 5.5.3. N-солитонное решение ........................................................................... 312 5.5.4. Комментарии ........................................................................................... 317 Глава 6. Динамика двумерных вихревых структур 6.1. Метод дискретных вихревых частиц ............................................................... 320 6.1.1. Уравнения движения вихревых частиц в безграничной жидкости .... 320 6.1.2. Уравнения движения вихревых частиц в ограниченных односвязных областях ............................................................................ 326 6.1.3. Уравнения движения системы соосных вихревых колец .................... 334 6.2. Движение системы прямолинейных вихрей ................................................... 338 6.2.1. Взаимодействие двух одинаковых вихрей при разных начальных расстояниях .............................................................................................. 339 6.2.2. Взаимодействие двух вихрей одного размера, но с разными циркуляциями .......................................................................................... 342 6.2.3. Взаимодействие двух вихрей с одинаковой циркуляцией, но с разными размерами ......................................................................... 342 6.2.4. Взаимодействие трех вихрей с циркуляциями одного знака .............. 343 6.2.5. Взаимодействие двух вихрей с циркуляциями разных знаков ........... 345 6.2.6. Взаимодействие трех вихрей с циркуляциями разных знаков. Коллапс вихрей ....................................................................................... 348 6.3. Моделирование динамики сдвиговых течений .............................................. 351 6.3.1. Механизмы образования крупных вихрей в сдвиговом слое ............. 351 6.3.2. Неустойчивость разгонного вихря ........................................................ 357

Стр.7

8 Оглавление 6.3.3. Неустойчивость следа за тонкой пластиной ......................................... 367 6.4. Движение вихрей в цилиндрических трубах .................................................. 376 6.4.1. Уравнения движения вихревых частиц в круговой области ............... 377 6.4.2. Прецессия прямолинейного вихря в трубе ........................................... 378 6.4.3. Движение винтового вихря в трубе ....................................................... 384 Глава 7. Экспериментальное наблюдение концентрированных вихрей в вихревых аппаратах 7.1. Экспериментальные методы ............................................................................ 389 7.1.1. Экспериментальное оборудование ........................................................ 389 7.1.2. Параметры закрученного потока ........................................................... 394 7.2. Винтовая симметрия вихревых течений .......................................................... 396 7.3. Концентрированный вихрь с прямолинейной осью ...................................... 401 7.3.1. Генерация концентрированных вихрей ................................................ 401 7.3.2. Композиция вихрей ................................................................................. 414 7.4. Прецессия вихревого ядра ................................................................................ 420 7.5. Стационарные винтовые вихревые нити ........................................................ 428 7.5.1. Одиночные винтовые вихри .................................................................. 429 7.5.2. Двойная спираль ..................................................................................... 433 7.6. Возмущения вихревого ядра ............................................................................ 437 7.6.1. Волны на концентрированных вихрях .................................................. 437 7.6.2. Распад вихря в канале ............................................................................. 442 7.6.3. Распад вихря в сосуде с вращающейся крышкой ................................ 456 Список литературы ........................................................................................................ 479 Список основных обозначений ..................................................................................... 498 Предметный указатель ................................................................................................... 500

Стр.8

CONTENTS Preface................................................................................................................................. 13 Introduction......................................................................................................................... 16 Chapter 1. Equations and laws of vortex motion 1.1. Vorticity. Circulation ............................................................................................ 24 1.2. Vortex dynamics ................................................................................................... 28 1.2.1. Equations of ideal fluid motion ................................................................... 28 1.2.2. Theorems of vortex motion of an ideal fluid .............................................. 30 1.2.3. Bernoulli’s theorem ..................................................................................... 33 1.2.4. Equations of viscous fluid motion .............................................................. 35 1.3. Motion equations in orthogonal coordinates ......................................................... 36 1.3.1. Arbitrary orthogonal system of curvilinear coordinates ............................. 36 1.3.2. Cartesian coordinate system ........................................................................ 39 1.3.3. Cylindrical coordinate system ..................................................................... 40 1.3.4. Spherical coordinate system ........................................................................ 41 1.4. Particular cases of vortex motion .......................................................................... 43 1.4.1. Helical flows (Beltrami flows) .................................................................... 43 1.4.2. Two-dimensional flows ............................................................................... 46 1.4.3. One-dimensional flows ............................................................................... 53 1.5. Flows with helical symmetry ................................................................................ 54 1.5.1. Derivation of equations ............................................................................... 54 1.5.2. Flows with helical vorticity ......................................................................... 56 1.5.3. Helical flows with helical symmetry of the flow field ................................ 59 1.6. Determination of the velocity field by sources and vortices ................................. 60 1.7. Vortex forces and invariants of vortex motion ..................................................... 64 1.7.1. Vortex forces ............................................................................................... 64 1.7.2. Vortex momentum and vortex angular momentum .................................... 71 1.7.3. Kinetic energy ............................................................................................. 76 1.7.4. Helicity ........................................................................................................ 77 1.7.5. Invariants of two-dimensional flows ........................................................... 79 Chapter 2. Vortex filaments 2.1. Geometry of vortex filaments ............................................................................... 84 2.2. Biot – Savart law .................................................................................................. 88 2.3. Rectilinear infinitely thin vortex filament ............................................................ 91 2.3.1. Vortex filament in ideal fluid ...................................................................... 91 2.3.2. Diffusion of vortex filament ....................................................................... 95

Стр.9

10 Сontents 2.4. Self-induced motion of vortex filament ................................................................ 97 2.5. Infinitely thin vortex ring ................................................................................... 101 2.6. Infinitely thin helical vortex filament ................................................................. 106 2.6.1. Helical vortex filament in infinite space ................................................... 106 2.6.2. Helical vortex filament in a cylindrical tube ............................................. 112 Chapter 3. Models of vortex structures 3.1. Vortex sheet ........................................................................................................ 125 3.2. Spatial localized vortices .................................................................................... 130 3.2.1. Vortex ring ................................................................................................ 130 3.2.2. Hill’s spherical vortex ............................................................................... 138 3.2.3. Hicks spherical vortex ............................................................................... 141 3.3. Columnar vortices in ideal fluid ......................................................................... 147 3.3.1. Rankine vortex .......................................................................................... 147 3.3.2. Gauss vortex .............................................................................................. 149 3.3.3. One-dimensional helical flow ................................................................... 150 3.3.4. One-dimensional (columnar) helical vortices ........................................... 151 3.3.5. Q-vortex .................................................................................................... 158 3.3.6. Helical vortex with a finite-size core ........................................................ 159 3.4. Viscous models of vortices ................................................................................. 163 3.4.1. Burgers vortex ........................................................................................... 163 3.4.2. Sullivan vortex .......................................................................................... 166 Chapter 4. Stability and waves in columnar vortices 4.1. Types of perturbations ........................................................................................ 167 4.2. Instability of a vortex sheet ................................................................................ 169 4.3. Waves in liquids with solid-body rotation .......................................................... 172 4.3.1. Plane waves ............................................................................................... 172 4.3.2. Axisymmetrical waves .............................................................................. 177 4.3.3. Taylor column ........................................................................................... 180 4.4. Linear instability of Rankine vortex with an axial flow ..................................... 182 4.4.1. Dispersion relations ................................................................................... 182 4.4.2. Linear analysis of temporal instability ...................................................... 188 4.4.3. Linear analysis of spatial instability .......................................................... 197 4.5. Kelvin waves ...................................................................................................... 199 4.5.1. Dispersion equations ................................................................................. 199 4.5.2. Axisymmetrical mode, m = 0 .................................................................... 200 4.5.3. Bending mode, m = 1 ................................................................................ 202 4.5.4. Evolution of initial localized perturbations Mechanisms of wave propagation.............................................................. 205 4.6. Instability of Q-vortex. Instability criteria........................................................... 213 4.6.1. Instability criteria ....................................................................................... 213 4.6.2. Instability of Q-vortex. Inviscid analysis. .................................................. 215 4.6.3. Instability of Q-vortex. Viscous analysis ................................................... 221

Стр.10

Сontents 11 4.7. Linear and non-linear waves in columnar vortices of the Q-type ...................... 225 4.7.1. Axisymmetrical non-linear standing waves .............................................. 225 4.7.2. Axisymmetrical weakly-nonlinear travelling waves ................................. 230 4.7.3. Bending waves .......................................................................................... 236 Chapter 5. Dynamics of vortex filaments 5.1. Cut-off method ................................................................................................... 246 5.2. Self-induced motion of helical vortex filament with an arbitrary pitch .............. 254 5.3. Hasimoto soliton ................................................................................................. 268 5.4. Application of momentum balance to description of dynamics of vortex filaments .............................................................................................. 279 5.4.1. Forces acting on vortex filament ............................................................... 279 5.4.2. Derivation of force-balance equations ...................................................... 281 5.4.3. Hollow vortex ........................................................................................... 291 5.4.4. Vortex filament with an inner structure .................................................... 293 5.4.5. Consideration of the inner core structure .................................................. 298 5.4.6. Modified equations of vortex filament motion ......................................... 302 5.5. The method of matched asymptotic expansions ................................................. 302 5.5.1. Derivation of equation for vortex filament motion ................................... 303 5.5.2. Local induction approximation ................................................................. 309 5.5.3. N-soliton solution ...................................................................................... 312 5.5.4. Comments ................................................................................................. 317 Chapter 6. Dynamics of two-dimensional vortex structures 6.1. The method of discrete vortex particles ............................................................. 320 6.1.1. Motion equations of vortex particles in infinite liquid .............................. 320 6.1.2. Motion equations of vortex particles in limited simply connected domains .................................................................................... 326 6.1.3. Motion equations of the system of coaxial vortex rings ........................... 334 6.2. Motion of the system of rectilinear vortices ....................................................... 338 6.2.1. Interaction of two identical vortices at various initial distances ............... 339 6.2.2. Interaction of two vortices of the same size but with different circulations ......................................................................... 342 6.2.3. Interaction of two vortices of the same circulations but with different sizes .................................................................................... 342 6.2.4. Interaction of three vortices with circulations of the same sign ................ 343 6.2.5. Interaction of two vortices with circulations of contrary signs ................. 345 6.2.6. Interaction of three vortices with circulations of contrary signs Vortex collapse .......................................................................................... 348 6.3. Modeling of dynamics of shear flows ................................................................ 351 6.3.1. Mechanisms of large vortex formation in a shear layer ............................ 351 6.3.2. Instability of a starting vortex ................................................................... 357 6.3.3. Wake instability behind a thin plate .......................................................... 367 6.4. Vortex motion in cylindrical tubes ..................................................................... 376 6.4.1. Motion equations for vortex particles in circular domain ......................... 377

Стр.11

12 Сontents 6.4.2. Precession of a rectilinear vortex in a tube ............................................... 378 6.4.3. Motion of a helical vortex in a tube .......................................................... 384 Chapter 7. Experimental observation of concentrated vortices in vortex apparatuses 7.1. Experimental methods ........................................................................................ 389 7.1.1. Experimental equipment ........................................................................... 389 7.1.2. Parameters of a swirling flow ................................................................... 394 7.2. Helical symmetry of vortex flows ...................................................................... 396 7.3. Concentrated vortex with a rectilinear axis ........................................................ 401 7.3.1. Generation of concentrated vortices .......................................................... 401 7.3.2. Vortex composition ................................................................................... 414 7.4. Precession of a vortex core ................................................................................. 420 7.5. Stationary helical vortices .................................................................................. 428 7.5.1. Single helical vortices ............................................................................... 429 7.5.2. Double helix .............................................................................................. 433 7.6. Perturbations of a vortex core ............................................................................. 437 7.6.1. Waves on concentrated vortices ................................................................ 437 7.6.2. Vortex breakdown in a channel ................................................................ 442 7.6.3. Vortex breakdown in a container with rotating lid ................................... 456 References ........................................................................................................................ 479 Main symbols.................................................................................................................... 498 Subject index .................................................................................................................... 500

Стр.12