МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ЯДЕРНЫЙ МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС
И ЯМР-ТОМОГРАФИЯ
Учебное пособие для вузов
Составитель
С. Г. Кадменский
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2012
Стр.1
ВВЕДЕНИЕ
Основные литературные источники, которые обычно используются в
качестве учебных пособий при изучении явления ядерного магнитного резонанса
(ЯМР) и его применения в исследованиях структуры различных
конденсированных сред и в ядерной медицине, весьма ограниченны по числу
и труднодоступны. Поэтому данное учебное пособие, ориентированное
на анализ фундаментальных свойств ядерного магнетизма и ядерного магнитного
резонанса, а также описание наиболее распространенных способов
их применения, включая современную медицинскую ЯМР-томографию,
может оказаться весьма полезным для широкого круга студентов и специалистов.
1.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ ЯМР
Развитие методов ядерного магнитного резонанса генетически связано
с тем фактом, что ларморовские частоты 0 ядерных магнитных подуровней,
возникающих при помещении атомных ядер во внешнее однородное и
стационарное магнитное поле, оказываются лежащими в диапазоне частот,
соответствующих частотам
могут быть созданы при использовании стандартных радиотехнических
средств. Заметим, что соответствующие ларморовские частоты 0
для
примерно в 2000 раз, что делает весьма
≈ эл
0
.
проблематичным экспериментальное получение высокочастотных переменных
магнитных полей с частотами
Использование методов ЯМР началось достаточно давно. Еще до войны
в 1939 году Раби продемонстрировал явление ЯМР при исследовании
отклонения пучков нейтронов во внешних магнитных полях для определения
дипольного магнитного момента нейтрона. Это явление связано с опрокидыванием
вектора спина нейтрона, ориентированного в однородном и
пендикулярной вектору 0B
. В дальнейшем метод Раби [1] был применен и
нейтроном кванта высокочастотного магнитного поля с индукцией 1B
, перпостоянном
магнитном поле с индукцией 0B
, при резонансном поглощении
для молекулярных пучков, что позволило измерять не только магнитные
дипольные моменты, но и спины различных ядер. Наконец, позже метод
ЯМР был использован для прецизионного определения напряженностей как
внешних, так и внутренних магнитных полей широкого круга конденсированных
сред.
3
высокочастотных магнитных полей, которые
эл
электронных магнитных подуровней в атомах и молекулах превосходят
ядерные ларморовские частоты 0
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Стр.3
где проекция zI на ось Z спина ядра I принимает при квантовомеханическом
рассмотрении [6] значения zI ; здесь – постоянная Планка,
а zI – безразмерная величина, которая меняется через единицу на интервале
до
включения магнитного поля 0B
все состояния ядер со спином I и его
спином ядра и имеющая целые и полуцелые значения, определяет наблюдаемые
значения вектора во второй степени спина ядра
−≤ ≤ , где положительно определенная величина I , называмая
=+
I II
z
II 1
I
22 (). Если
различными проекциями zI были вырождены (т.е. их энергии не зависели
от zI ), то после включения этого поля, как видно из формулы (2), происходит
снятие вырождения и энергетический спектр ядра принимает вид, представленный
на рис. 1 для
gI 0> .
Рис. 1
При этом расстояние EΔ между соседними магнитными подуровнями,
отличающимися по zI на 1± , определяется формулой
E 00
Δ == , (3) B
I
где величина 0 совпадает с модулем ларморовской частоты, которая вводится
при описании [7] классической прецессии магнитного дипольного
момента ядра
вокруг вектора магнитной индукции 0B
.
магнитном поле силы F
, проекции которой на оси α (α = Х, Y. Z) системы
Второй эффект связан с появлением действующей на ядро во внешнем
координат имеют вид
Из формулы (4) следует, что сила F
отличается от нуля только в слуFE
dB
dx
z
чае неоднородного магнитного поля, когда величина его магнитной индукции
0B
поле действующего на ядро момента сил P
:
PB, 0 ⎤
⎦
6
зависит от координат Х, У и Z.
Наконец, третий эффект связан с появлением во внешнем магнитном
= ⎣ . (5)⎡
=−∇ = . (4)
0
γ
ω
μ α
ω
μ
αα
μ
Стр.6
дающего с его полным спином I , под действием момента сил P
может
dI P
dt
== ⎤. (6)⎡
⎣
,B 0 ⎦
2.2. Ларморовская прецессия
ного дипольного момента
e x
,
e y
,
Если вектор ( )t
,
y ( )t
,
Умножая уравнение (6) на I , можно получить уравнение для магнит:
d
dt
=
⎣I ⎡
, 0B ⎤ .
⎦
e z
– единичные орты осей координат Х, У, Z соответственно, то
представить как ( )t e te te t( ), где
= ++
xx y y
()()
z ( )t
:
⎧ d
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
A xy( )tt i=+ t
:
dt
d
dt
d
dt
z z
уравнение (7) можно представить в виде системы трех уравнений для проекций
( )x t
x = IyB 0,
y
=− IxB0,
z = 0.
дывая его с первым уравнением, можно получить уравнение для величины
( )
Умножая второе уравнение в формуле (8) на мнимую единицу i и скла(
)
dA t iA t
dt
( ) =
где
00
уравнения (9) представляется как
()
Ate xtt,
= ⊥
it
;
( ) = ⊥ cos 0
При использовании начального условия
= IB− . (10)
( )
x 0 =
0 , () =
ytt (11)
( ) = ⊥ sin 0 ,
где ⊥ – начальное значение поперечной по отношению к оси Z компоненты
вектора дипольного момента
нения в формуле (8) имеет вид
7
. В то же время решение третьего уравy
00 решение
0 (), (9)
(8)
(7)
Тогда изменение полного момента количества движения ядра, совпабыть
описано в рамках классической механики с помощью обобщенного
уравнения Ньютона [7]:
μ
μ
μμ
μ μ γμ μ
γ
μ
μ
μ
μ
μ
ω
μ
μ
ω
μ
μ
γμ
μ
γμ
μ
μ
ω
γ
μ
μω
μ
μ
μ
μω
μ
Стр.7
z ( )tconst==
.
прецессии вектора
( )t
, (12)
где – начальное значение продольной по отношению к оси Z компоненты
вектора
Тогда временная зависимость вектора магнитного дипольного момента
, определяемая формулами (11) и (12), соответствует ларморовской
вокруг вектора 0B
с угловой скоростью 0
ми подуровнями ядра во внешнем магнитном поле 0B
.
, называемой
ларморовской частотой. Как было показано выше, модуль этой частоты
0
ра магнитной индукции 0B внешнего однородного и постоянного во времени
магнитного поля от 0,15 Тл до 2 Тл для ядра 1
ядра 31
0
Ядра
15
≤≤51,7 МГц соответственно.
1
H1
1
H1
1
H1
1
H1
1
H1
1
H1
31
P 31
15
P 31
15
Таблица 2
P 31
15
P15
Внешнее
поле 0B (Тл) 0,15 0,35 0,5 1 1,5 2 1 1,5 2 3
Частота 0
(МГц)
6,4 14,9
21,3 42,6
63,9
85,2
17,2 25,9
2.3. Ядерный парамагнетизм
Рассмотрим равновесное состояние системы тождественных атомных
ядер со спином I 0≠ в однородном и постоянном во времени внешнем магнитном
поле 0B
при температуре 0T . Функция распределения ( )zWI проекций
zI спинов ядер для этого состояния носит характер распределения Гиббса,
зависящего от энергии E
(2) ядра в поле 0B
[5]:
WI Cexp
()
где a = IB 0
kT0
zz
E
=− =⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
0
kT C a I(),
exp
ровки распределения (13) и имеет значение
8
(13)
. Нормировочная константа С находится из условия норми34,5
фигурирует
в формуле (4) для расстояний между соседними магнитныКак
видно из табл. 2, ларморовские частоты 0 при изменении вектоH1
и от 1 Тл до 3 Тл для
P лежат в радиотехнических диапазонах 6,4 ≤ 0 ≤85,2 МГц и 17,2
51,7
ω
μμ
ω
ω
μ
μ
μ
ω
ω
ω
μ
γ
Стр.8