В.М. ДЕУНДЯК, Е.А. СТЕПАНЮЧЕНКО
ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ
ПОСЛОЙНО СИНГУЛЯРНОГО ТИПА В ПРОСТРАНСТВЕ LP(R2)
Введен новый класс двумерных интегральных операторов с однородными ядрами,
включающий в себя известный класс операторов с SO(2)-инвариантными ядрами. <...> Для банаховой алгебры, порожденной парными операторами такого вида, на основе билокального метода построено символическое исчисление, с помощью которого
получен критерий фредгольмовости. <...> Исследованию разрешимости интегральных операторов с однородными ядрами в
пространстве Lp(Rn) посвящено много работ [1-4]. <...> В настоящей работе для n=2 строится новая банахова алгебра интегральных операторов с однородными ядрами, которая, с одной стороны,
включает в себя класс операторов с SO(2)-инвариантными ядрами, а с другой - пространственно подобна некоторой алгебре операторов билокального типа. <...> Если B – банахово пространство, то End(B) – банахова алгебра всех линейных ограниченных операторов в B, Comp(B) – идеал компактных операторов, Fr(B) – пространство фредгольмовых операторов. <...> Изоморфизм банаховых пространств α: B1→B2 задает изоморфизм подобия банаховых алгебр
αˆ :
End(B1) → End(B2) по правилу: A(∈End(B1))|→
αAα (∈End(B2)). <...> Если U произвольная банахова алгебра, то U+ – унитализация U. <...> (2)
2
где k∈M(R ) является ограниченным в пространстве Lp(R2). <...> Известно, что действующие в пространстве Lp(T) интегральные операторы с ядрами из L∞(T×
×T) принадлежат идеалу
Comp(Lp(T)). <...> Таким образом, при исследовании операторов с одно-
162
Вестник ДГТУ, 2007. <...> Этот переход определяет изоморфизм
π: Lp(R2) → Lp(R+×T,r⊗1),
который задает изоморфизм подобия банаховых алгебр
πˆ : End(Lp(R2)) → End(Lp(R+×T, r⊗1)). <...> Вложение
Opp(FC(R2)) ⊂ Opp(FS(R2))
вытекает из определений рассматриваемых алгебр и того факта,
что действующие в пространстве Lp(T) интегральные операторы с ядрами
из L∞(T×
×T) порождают идеал Comp(Lp(T)), содержащийся, в свою очередь,
в банаховой алгебре wp(T). <...> Парные операторы с однородными <...>
Вестник_Донского_государственного_технического_университета_№2_2007.pdf
Вестник ДГТУ, 2007. Т.7. №2(33)
УДК 517.9
В.М. ДЕУНДЯК, Е.А. СТЕПАНЮЧЕНКО
ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ
ПОСЛОЙНО СИНГУЛЯРНОГО ТИПА В ПРОСТРАНСТВЕ LP(R2)
Введение и постановка задачи. Пусть 1< p, p′<∞ и 1/p+1/p′=1. Исследованию
разрешимости интегральных операторов с однородными ядрами в
пространстве Lp(Rn) посвящено много работ [1-4]. Отметим, что если условия
ограниченности получены для произвольных операторов такого типа
[1-2], то при исследовании фредгольмовости и вычислении индекса на ядра,
кроме условия суммируемости, накладывалось также, как правило, условие
инвариантности относительно диагонального действия группы ортогональных
преобразований SO(n) [1, 3, 4].
В настоящей работе для n=2 строится новая банахова алгебра интегральных
операторов с однородными ядрами, которая, с одной стороны,
включает в себя класс операторов с SO(2)-инвариантными ядрами, а с другой
- пространственно подобна некоторой алгебре операторов билокального
типа. Последнее обстоятельство используется для построения символического
исчисления и исследования фредгольмовости. Часть представленных
в настоящей работе результатов анонсирована в [5].
Операторы с однородными ядрами. Прежде всего введем некоторые
обозначения. Если B – банахово пространство, то End(B) – банахова алгебра
всех линейных ограниченных операторов в B, Comp(B) – идеал компактных
операторов, Fr(B) – пространство фредгольмовых операторов.
Изоморфизм банаховых пространств α: B1→B2 задает изоморфизм подобия
банаховых алгебр ˆ : End(B1) → End(B2) по правилу: A(∈End(B1))|→
αAα-1(∈End(B2)). Если U произвольная банахова алгебра, то U+ – унитализация
U.
Для компакта X и нормированного пространства Y через С(X,Y)
будем обозначать пространство непрерывных отображений X в Y с равномерной
топологией; пусть C(X) = C(X,C). Для локально компактного некомпактного
пространства X банахово пространство отображений из С(X,Y),
стремящихся к 0 на бесконечности, обозначим С0(X,Y); пусть
C0(X)= C0(X,C).
161
В л а к р
и
с
ч
д а х ь е
в ю н а и
е ч а л т л д
к я б о к е с е
в л и е в е
е у
Д б ч е и
в л ч н
л
о ю е
К и
е ю о н р о г
р
н н
о и о о ф: и о
г й а л
ы
щ в о и в о
л н ы , ф
п л с
м
в й в с г о г г т
л т д е с
л б б а л а .
й к е е д о р ь
а
в с о е т
с я ис д е р о с
у тм н ж н и
т в ы
е
з
в о р о е о
с о н
ы й к о в
р ы д ое сн ин м
н
х и а
н с
е
й а е е т о
ь
р п ь л
м р н в
ы
, п
о м ь
р е ы к
т с о р е
л й п иа ч
л
о
. п
е
р
а р м о
г п н с
а
ы р п с
л аь тн о и о и
п
т
о
р
х о в с S о ет ла ср и
е
р
о е ч
е
ы
, о
д
о 2 м е
а O р н
)
н
о
р
р - и т с
т ( а и
,
о
д
о ив с о р г м
в к о
д и о в ь
а о о
н ао нр т и
н а п
н
ы
щ
е я
д
р
д ы а к
о н д ю
ы
а
н м , н оа о о
р
м и яи я а о
о
д р н о
р м -
а им .
и
,
д с г
т
, с
и
м
в
о
л
и
ч
е
с
к
о
е
α
Стр.1