Вестник Донского государственного технического университета №4 2006 (290,00 руб.)

Стр.1

Вестник ДГТУ, 2006. Т.6. №4(31) МАТЕМАТИКА УДК 519.642.3 В.М. ДРАГИЛЕВ О РЕДУКЦИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА К УРАВНЕНИЮ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ ISSN 1992-5980 Введение. Пусть некорректная обратная задача сведена к интегральному уравнению (ИУ) Фредгольма первого рода с вполне непрерывным оператором b [ ]( ) ≡ ∫ a где ( ) ( ) u x u x u x( ) , u ( ) [ ]( ) u ( )x % = + (оригинал); = Aq x G x s q s ds u x%( ) , ( , ) ( ) = 2 x c d x Aq x , q s L a b ( )∈ [ , ] - погрешность исходных данных. Ввиду некорректности задачи ее практической постановке должен предшествовать априорный анализ, состоящий, в идеале, из следующих двух этапов. В первую очередь желательно указать некий класс оригиналов, успешная реконструкция в том или ином смысле гарантируется при заданном уровне входных погрешностей. Затем, исходя из доступной информации об оригинале, следует выяснить его принадлежность к данному классу и сделать вывод о возможности (невозможности) успешной реконструкции. Самостоятельный интерес представляет первый этап, который и будет в центре внимания. За недостатком априорной информации как первый, так и второй этап обычно осуществляется нестрогим образом, с привлечением неких качественных представлений. Простейшим средством априорного анализа служат численные эксперименты с имитацией погрешностей и модельными оригиналами. Другие приемы основаны на исследовании сингулярных чисел (СЧ) и числа обусловленности [1-4]. По ряду причин последний подход может быть наиболее эффективно реализован, когда оператор A является конечномерным, т.е. G x s G x s ( , ) = ся к вырожденному, т.е. G x s G x s G x s , ( , ) = где G x s - остаточные члены, исчезающие в некотором пределе. r ( , ) 293 M ( , ) + r ( , ) M ( , ) ≡∑ ( ) ( ) m= 1 M m m x s . (2) Подходящая методика априорных прогнозов в основных чертах показана в статьях [2, 5] и для удобства будет далее изложена. Для приложений интересен случай [2], когда ядро ИУ приближает∈[ , ], (1) - искомая функция Р а й с к п в л п ч п с мн е и г о т и з ы о о ю л р с нк сщь в р к я о е е с ю а р еу и л ь К л г о м ао м ии п ж ад а лс ь х ц р ы лр оо в о р у ув рп и у , я е с о р в г δ δ ψ ϕ т м е а о д о н к е х н е м а ар а с ер н щ а е п е ви а д у от т но н я ю рдро п о дд е: н, я аиы м м с р н е о бю Ф р т с нн ы е п т о пк р р р о у о кы ц х п б о о т г о в о м б , а е г р т с е о й а л о ша р к д н о н и я нм , п о н о з н к к р р н х ж я д й еа п е нр ди м я а ы ь в в н и т п о е д ы е р ве оа т х и ю рн и е е ц а а ды о и а а п н л р о у р аа бт ол й м о н я о а н н м р гг е . к г н о у п и , и н а о е е а н н о но р ч ра г з п д д ар ч п ле з н д н ш а ер т т з г о о е а р о а и р р с т л а б . Рй д е а н ь т р ь л н т я а о, по е П . и г о д в и е о р в я з о а у о п р а я з н д а н а с л ч в е а а е о о т о нр иа е ч ща вы и т е , сн з ц ь п . Ф м е н в т о з е у о , г е о ж к р ва п о н н э с п о д л н и о а р е з и я к и ч - и е н ет - е - с й р - т в н о ы , р е д -

Стр.1