Задавшись собственными значениями, собственными векторами и
начальными условиями, из (11) получаем решение и сравниваем его в каж-
412
Вестник ДГТУ, 2003. <...> В работах [1-3] изложены методы исследования волновых полей в упругих областях данной геометрии, использующие асимптотическое
поведение общих решений в особых точках границы. <...> Ключевые слова: гармонические колебания, локальные особенности волнового
поля, концентрация напряжений. <...> Геометрия составной области в безразмерных координатах
416
Вестник ДГТУ, 2003. <...> №4(18)
ISBN 5-7890-0285-4
(m )
Предполагается, что материал областей G
изотропный, а волновое поле возбуждается вибронагрузкой интенсивности q , гармонически
изменяющейся во времени с частотой ω и приложенной к внешним границам составной области, а на границе контакта реализуются условия жесткого сцепления. <...> Характер сингулярности волнового поля в угловой точке стыка
областей A(δ ,η ) определяется параметром α , для определения которого в [3] получено характеристическое уравнение, корни которого зависят
от отнесенных к модулю сдвига
µ ( m)
безразмерных упругих параметров
(1)
(2)
внутренней области G
и наплавок G (верхний индекс определяет принадлежность соответствующей характеристики к области
G ( m ) , m = 1,2 ). <...> Предполагая закон изменения всех характеристик волнового поля в окреx, x
стности особой точки A(δ ,η ) известным [3], изучим количественные характеристики концентрации динамических напряжений в этой точке. <...> ( x, y ) ,
достаточно точно описывающее решение по-
ставленной задачи вблизи особой точки А составной области, исключая
417
Раздел «Математика»
зону ее предельной близости. <...> Следует отметить, что значение показателя
особенности по напряжениям α в точке А не зависит от геометрических
характеристик составной области [3,5], а определяется лишь упругими параметрами µ ( m ) ,ν ( m) ( ν ( m) - коэффициент Пуассона материала области
G ( m ) ), число которых может быть сокращено до двух [7,8],
418
Вестник ДГТУ, 2003. <...> 2 сплошной линией представлена <...>
Вестник_Донского_государственного_технического_университета_№4_2003.pdf
Вестник ДГТУ, 2003.Т.3.№4(18)
МАТЕМАТИКА
УДК 621.891
Д.А. ВОЛОШИН, А.Д. ЛУКЬЯНОВ, В.А. МОРОЗ
ТЕСТИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
ISBN 5-7890-0285-4
Введение. При анализе динамических систем в инженерной практике широко
используются численные методы решения задачи о собственных векторах
и собственных числах, а также численные методы решения систем
линейных дифференциальных уравнений. Некоторые методы имеют возможности
априорного задания точности вычислений. Тем не менее проблемы,
обусловленные ошибками машинного округления, неизбежно возникающими
в ЭВМ, и собственными погрешностями методов, ставят вопрос
об адекватности методов в смысле достижения объявленной точности и
разумных границах применения.
Тестирование методов вычисления собственных векторов и собственных
значений. Рассмотрим следующее уравнение при заданных начальных
условиях:
(
где A, B , C ∈ ( ×RM ,3 3) , det( ≠A) 0 , y R∈ , D - оператор диффе(2
)
AD + BD C y t( ) 0 , y(0) y= , y(0) y 0
3
2
+
)
A
2
=
ренцирования, y( ) Ct ∈ .
Характеристическое уравнение, соответствующее (1),
0
+ B C+ =
Q∈ ( ×RM ,3 3) , такие что
)(
+
+
)(
+
отсюда ясно, что
A EP;
=
сать:
(
= EP I E F I P Q .
+
−1
+
1
E F P Q E F P Q E I E F P I P Q
−
+
)(
+
) =
+
+ =
411
+
−1
+
−1
B Q F C FQP
= +
;
=
.
=
(5)
Выражение (4), используя свойства определителя, можем перепи(6)
(E
F P Q A
+
) =
) =
Раскрыв скобки, получим
(E F P Q EP
2
2
.
+ B C .
+
+ (E FPQ
+
)
+ FQ ,
(2)
Введем в рассмотрение несингулярные матрицы E , F , P ,
(3)
(4)
0
&
& = ,
(1)
Р в е е
с сю с л
а ес нс н и
т т ч
м ы не л ым в
и
а
К
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
т х в й ле с
р
в к ы а
и е н о
а т х :
т а ф с
ю р и и
я в
о
о д ч
в
с х и ср о е нр не еф л
п
с с ц е
о б н ы
ы т е л е
т ы ы д
е н ь т
с н н о
т ив а м
и
о
р х ч р л
у
ы
,
я ч х н н
н л н е
в и а и
х
с
и а е й
а с в н
и, а т с дй яи а
л
н ж с м
е а п н
и
ы е мх м е н .я ао кт и
н к о а
е т н
т о ы
о д м
д о и
о в ч о
к
в р и э
е сш л ф
е е ф
н н и
и н ц
я з г ео и
а о р а
д
а е м
н
ч ш ие .
т
и о с ио я
н
б
-
Стр.1