Нелинейные волны на заряженной поверхности жидкости : Монография (290,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Д.Ф. Белоножко С.О. Ширяева А.И. Григорьев Нелинейные волны на заряженной поверхности жидкости Ярославль 2006 1

Стр.1

УДК 532.59:534.1 ББК В 253.322 Б 43 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве научного издания. План 2006 года Рецензенты д-р физ.-мат. наук Коромыслов В.А.; кафедра прикладной математики и вычислительной техники Ярославского государственного технического университета Б 43 Белоножко, Д.Ф. Нелинейные волны на заряженной поверхности жидкости : моногр. / Д.Ф. Белоножко, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев; Яросл. гос. ун-т им. П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2006. – 288 с. ISBN 5-8397-0507-1 (978-5-8397-0507-4) В монографии в рамках аналитического асимптотического моделирования рассмотрены нелинейные капиллярно-гравитационные волны на свободной поверхности идеальной и вязкой несжимаемой жидкости в плоской и цилиндрической геометриях. Книга издана при поддержке грантов Президента РФ № МК-929.2003.01 и МД-1990.2005.1, а также грантов РФФИ № 03-01-00760, № 05-08-01147-а, №06-01-00066-а. УДК 532.59:534.1 ББК В 253.322  Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2006 ISBN 5-8397-0507-1 (978-5-8397-0507-4)  Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, 2006 2

Стр.2

1. Введение. Периодические волны на однородно заряженной плоской поверхности несжимаемой жидкости 1. Линейные волны. Началом теоретического исследования периодических волн на заряженной поверхности жидкости является работа Я.И. Френкеля [1], в которой исследован вопрос об условиях реализации неустойчивости поверхности жидкости по отношению к избытку поверхностно распределенного электрического заряда. Л.А. Тонкс за год до появления работы Френкеля провел качественную оценку условий реализации этой неустойчивости [2]. Он получил критерий неустойчивости заряженной поверхности жидкости с точностью до коэффициента  2, сравнивая лапласовское давление под искажением, в виде сферического сегмента, рельефа плоской поверхности с давлением на него однородного электростатического поля, направленного перпендикулярно невозмущенной поверхности. На практике неустойчивость заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда проявляется в том, что при превышении поверхностной плотности заряда некоторого критического значения с поверхности жидкости начинается сброс электрического заряда в виде большого числа маленьких сильно заряженных капелек [3]. Сначала на поверхности образуются конусообразные выступы – конусы Тейлора. Затем с вершин этих выступов электрическое поле начинает отрывать заряженные капельки [4, 5]. Френкель строго вывел уточненный критерий неустойчивости в рамках метода нормальных мод [6]. Он рассмотрел в линейном по амплитуде волны приближении задачу определения спектра капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной несжимаемой, идеально проводящей бесконечно глубокой жидкости. В системе координат OXYZ с осью OZ , направленной вертикально вверх, и плоскостью OXY , совпадающей с равновесной в поле сил тяжести плоской поверхностью жидкости, полная математическая формулировка этой задачи имеет вид [1,7]: z > 0: ∆Φ = 0 ; 3 z < 0 : ∆ = 0; ϕ

Стр.3

z = 0: ∂ ∂ = ∂ ∂ t z ; − g − ∂ Φ− 4 0 = 0; z→ ∞: | →Φ∇ | 0; Здесь t – время; и = ( , )xt z→ −∞: сти жидкости от плоской равновесной формы; | →∇ | 0 . – отклонение свободной поверхно0 – поверхностная плотность электрического заряда в равновесном состоянии; – плотность и коэффициент поверхностного натяжения жидкости соответственно; g – ускорение поля силы тяжести; ( , , )zxt = ный возмущением ее свободной поверхности; () – до– потенциал поля скоростей в жидкости, обусловленΦ = Φ t x z,, бавка к величине электрического потенциала над поверхностью жидкости, вызванная отклонением формы этой поверхности от равновесной плоской. Для простоты движение жидкости считается не зависящим от координаты y . Решение задачи Френкеля в комплексной форме имеет вид [1, 7]: = ()) ; exp (i k x − t = kg 1 2    + k g kW . −    Безразмерный параметр W > 0 в дальнейшем будет называться параметром Тонкса-Френкеля. Он равен отношению электрических и лапласовских сил под искривлением свободной поверхности жидкости с характерным линейным масштабом, равным капиллярной постоянной жидкости, и определяется выражением: W 2 = 4 0 g . Общим решением задачи Френкеля является суперпозиция синусоидальных прогрессивных волн различных длин = 2 / k , где k – волновое число. Принимается, что свободная поверхность жидкости подвержена тепловым возмущениям, которые в фикси4 ∂ − ∂ t κ z 0 ∂ ∂ + ∂Φ 2 x 2 0; = ξ γ ϕ ρξ ρ π ϕ ξ ξ ξ ρ γ ω γ ϕ ϕ ξ ζ λ ω π κ γ ρ π κ ξ κ ϕ ρ

Стр.4

рованный момент времени образуют рельефную структуру с характерной высотой k=⋅ ⋅ 8.31 10 /эрг моль град складок ~/ kT γ , где 7 () – постоянная Больцмана. Согласно принципам гармонического анализа, такой рельеф можно представить суперпозицией «простейших гармонических складок». Решение Френкеля показывает, как такие простейшие возмущения, называемые в дальнейшем модами, будут эволюционировать во времени. При ний остается малой ~/ волновых чисел: 2 1 g W W − < < 2 ( − 4) k 0 ≤ ≤W амплитуда всех возможных тепловых возмущеkT γ . При W>2 существует интервал 2 2 1 g W W − 4), 2 ( + для которых амплитуды возмущений экспоненциально растут во времени. В рамках линейного подхода это нарастание не ограничено (т.е. обеспечено до тех пор, пока амплитуда волны уже не сможет считаться весьма малой по сравнению с ее длиной). Складывается следующая картина явления. Если 0 ≤

Стр.5