Ю. Е. Воскобойников, К. А. Втюрин, В. А. Литасов
(Новосибирск)
ДЕСКРИПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Предлагается новый алгоритм построения регуляризированного решения
интегрального уравнения I-го рода с разностным ядром. <...> Многие измерительные оптические системы могут быть
представлены интегральным уравнением I-го рода с разностным ядром вида
bj
т k( t - t ) j (t ) d t = f ( t ),
a f Ј t Ј bf , <...> Учет такой «качественной» априорной информации, возможно, позволил бы получить регуляризированное решение, адекватное априорным
ограничениям на функцию j (t ). <...> В этом случае обращаются ко второму подходу,
когда регуляризированное решение определяется из условия минимума сглаживающего функционала с учетом ограничений, задаваемых системой неравенств (в общем случае нелинейных). <...> 5
Тогда линейный регуляризирующий алгоритм вычисления вектора регуляризированного решения j pa можно представить матричным выражением
мп
ьп
~
l k (l )
j pa = W N-1diag н
э WS N f ,
2
по l k (l ) + a Q p (l ) пю <...> Заметим, что в отличие от прямых методов построения регуляризированного решения системы (2) (где требуется порядок N j3 операций), алгоритмы (6), (7) требуют порядка N log 2 N операций, и поэтому при достаточно больших N j (больше 100) алгоритм (4) на 23 порядка сокращает
число вычислительных операций [3, с. <...> Данная задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма I-го рода с разностным ядром:
Ґ
f (l ) =
т k (l - lў )j (l ў) d l ў,
(12)
-Ґ
где k(l - lў ) инструментальный контур; f (l ) спектр, наблюдаемый на выходе спектрометрической системы во время сканирования. <...> На рисунке представлены проекции сигнала, поступающего со светового
датчика (кривая 1), в котором две составляющие спектра не разделены, а
также регуляризированные решения: кривая 2 решение j a (без <...>
Автометрия_№3_2005.pdf
Том 41 № 3 2005 (МАЙ - ИЮНЬ)
СОДЕРЖАНИЕ НОМЕРА
Автор / Название статьи
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ
Воскобойников Ю. Е., Втюрин К. А., Литасов В. А. Дескриптивный алгоритм
восстановления входных сигналов оптических систем
Удод В. А. Об одном подходе к аподизации приемников изображений
Хафизов Р. Г., Хафизов Д. Г. Распознавание групповых точечных объектов на
основе представления в собственной системе отсчета кватернионных
сигналов
Вьюхин В. Н. Коррекция погрешностей в цифровых измерительных системах
с параллельными каналами
МОДЕЛИРОВАНИЕ В ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
Медведев Ю. Г. Метод моделирования трехмерных потоков жидкости
клеточными автоматами
Вяткин С. И., Долговесов Б. С. Визуализация полупрозрачных объектов на
базе функций возмущения и прозрачности
Гридчин В. А., Бялик А. Д. Математическое моделирование мембранных
чувствительных элементов амплитудных волоконно-оптических датчиков
давления
Булыгин Ф. В. Особенности спектротомографии в четырехмерном
пространстве
37
49
56
Трофимов О. Е. Алгоритм построения виртуальных рентгеновских проекций 64
70
ОПТИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ЭЛЕМЕНТЫ И
СИСТЕМЫ
Косцов Э. Г., Истомин В. Е. Управление поглощением микроволнового
излучения в тонкопленочной структуре сверхпроводник-сегнетоэлектрик
Козлов А. И., Марчишин И. В., Овсюк В. Н., Шашкин В. В. Кремниевые
мультиплексоры для многоэлементных фотоприемников ИК-диапазона
Буяров С. А., Галушкин М. Г., Голубев В. С., Гришаев Р. В., Дубров В. Д.,
Завалов Ю. Н., Панченко В. Я. Оптическая диагностика турбулентного
потока прокачного газового лазера на основе метода обращения волнового
фронта
Бикмухаметов К. А., Дмитриев А. К., Чепуров С. В. Измерения оптических
частот и длин с помощью фемтосекундного лазера
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Белоусов П. П., Белоусов П. Я., Дубнищев Ю. Н. Землетрясение в Индийском
океане и геодинамические возмущения в г. Новосибирске
Алексеев В. Г. О допустимых непараметрических оценках плотности
вероятности
Ильиных С. П., Гужов В. И., Кафидова Н. Е., Бочаров Д. Д. Робастный
алгоритм расшифровки интерферограмм
115
118
122
80
88
100
108
3
11
19
31
номер
страницы
Стр.1
Р ОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
АВ Т ОМЕТРИЯ
2005, том 41,¹3
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ
УДК 621.391
Þ. Å. Воскобойников, Ê. À. Âòþðèí, Â. À. Литасов
(Новосибирск)
ДЕСКРИПТИВНЫЙ АЛГОРИТМВОССТАНОВЛЕНИЯ
ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Предлагается новый алгоритм построения регуляризированного решения
интегрального уравнения I-го рода с разностным ядром. Показано, что такой
алгоритм позволяет учитывать различную априорную информацию об искомомрешении
(неотрицательность, возрастание, убывание и т. д.) и что использование
дискретного преобразования Фурье и алгоритма быстрого преобразования
Фурье существенно (на 2–3 порядка) уменьшает число операций по
сравнению с известными алгоритмами. Эффективность предлагаемого алгоритма
иллюстрируется решением обратной задачи спектроскопии.
Введение. Многие измерительные оптические системы могут быть
представленыинтегральнымуравнениемI-города с разностнымядромвида
kt
b
a Ea
)
() – аппаратная функция. Задача восстановления входного сигнала заключается
в решении уравнения (1) относительно функции
где kt
().Такая задача
относится к некорректно поставленным [1, 2], и основная трудность ее решения
обусловлена слабой устойчивостью получаемого (обычными методами)
решения к погрешности ()t задания правой части, когда вместо точной
правой части ft
()èçâåñòíà зашумленнаяфункция ~() () ().aC t Для ïîft
f
информация о значениях или поведениифункции
().
t
строения устойчивых решений используются различные линейные методы
регуляризации [1–4], в которых в той или иной форме задается априорная
информация о «гладкости»функции
()неотрицательна на заданных интервалах аргумента ; б) функция
().Вряде случаев имеется априорная
(),например: а)функция
()
монотонновозрастаетилимонотонноубывает назаданных интервалах аргумента
.Учет такой «качественной» априорной информации, возможно, позволил
бы получить регуляризированное решение, адекватное априорным
ограничениям на функцию
3
() ( d f t a t b ,
( ), ff
(1)
Стр.2
операторных уравнений I-го рода, учитывающих априорную информацию о
функции
зирующих алгоритмов. Первый подход используется в случаях, когда ограничения
на функцию
Существует несколько подходов к построению алгоритмов решения
().Эти алгоритмы получили название дескриптивных регуляри()определяют
в пространстве решений компактное
множество, на котором (при определенных условиях) обратный оператор задачи
непрерывен, а, следовательно, получаемое решение устойчиво к погрешностям
задания правой части [5]. Такими ограничениями могут являться
требования выпуклости или монотонности и выпуклости функции
К сожалению, имеющаяся на практике априорная информация (например,
условие неотрицательности
().
()) не гарантирует принадлежность
()
компактному множеству. В этом случае обращаются ко второму подходу,
когда регуляризированноерешениеопределяется из условияминимума сглаживающего
функционала с учетом ограничений, задаваемых системой неравенств
(в общем случае нелинейных). Если система ограничений линейна
и сглаживающий функционал является квадратичным, то решается задача
квадратичного программирования [6]. Различные алгоритмы решения этой
задачи (метод проекции градиента, метод условного градиента и т. д.) требуют
значительного числа вычислительных операций, что при большой размерности
дискретного аналога уравнения (1) приводит к существенным
трудностям вычислительного характера. Поэтому целью данной работы является
построение эффективного дескриптивного регуляризирующего алгоритма
восстановления сигналов, учитывающего:
а) разностный характер ядра интегрального уравнения (1);
б) априорную информацию о значениях функции
()(или ее производной)
в узлах дискретизации, задаваемую системой линейных неравенств.
Однако вначале приведем основные соотношения линейного регуляризирующего
алгоритма, необходимые для построения дескриптивного регуляризирующего
алгоритма восстановления сигналов.
Линейный регуляризирующий алгоритм. Разностный характер ядра
интегрального уравнения (1) обусловливает применение дискретного преобразования
Фурье(ДПФ)и алгоритма быстрого преобразования Фурье(БПФ)
для построения эффективного (по количеству вычислительных операций)
регуляризирующего алгоритма [3, с. 174]. Для этого бесконечномерное уравнение
(1) аппроксимируют конечномерным дискретным аналогом вида
N E 1
j a
aa E
0
kf i 01,
ij jt i
E h ~ ,
торов ,,f полученных в результате проведенной дискретизации. Шаг ht
выбирают таким, чтобы ошибка квадратурной формулы (2) была мала по
где ht – шаг дискретизации функций
,
сравнению с погрешностью ()t задания правой части уравнения (1).
Предположим, что:
1. Функция
ent [(
() финитна и вне интервала [, ]ab
ÒîãäàNb aaE t
2. Функция k()
ent [(
ÒîãäàNb akk k ) ].haE t
) h ], где ent[ ]z – целая часть числа z.
финитна и вне интервала [, ]ab
, ... , Nf
(2)
(), ( );ft N Nf – размерность âåê
обращается в нуль.
kk обращается в нуль.
4
Стр.3