ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2006. Т. 47, NУДК
533; 517.92517.944
ОБ ИСТОЧНИКЕ ГАЗА В ПОЛЕ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ
Д. В. Паршин, А. П. Чупахин∗
Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск
∗ Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск
E-mail: danilo-skiman@gorodok.net
Исследуется небарохронная регулярная частично инвариантная подмодель уравнений
газовой динамики. Подмодель сводится к неявному обыкновенному дифференциальному
уравнению первого порядка для вспомогательной функции X = X(x). Физические величины
(скорость, плотность, давление) выражаются через функцию X. Исследованы
свойства и в терминах движения газа дана физическая интерпретация решений уравнения.
Доказано существование решения с ударной волной. Изучены свойства ударной
адиабаты. Показано, что полученные результаты существенно отличаются от результатов
для случая, когда постоянная сила отсутствует, и являются новыми.
Ключевые слова: частично инвариантное решение, дискриминантная кривая, пространство
струй, неправильная особая точка, проективная замена, звуковая линия, стационарная
ударная волна.
Введение. Групповой анализ дифференциальных уравнений [1] является эффективным
методом построения широких классов точных решений моделей механики сплошных
сред, в частности газовой динамики. В работе [2] исследуется точное решение уравнений
газовой динамики, описывающее двумерное движение газа в поле силы с постоянным
ускорением (силы тяжести). Это движение порождается регулярной частично инвариантной
подмоделью, задаваемой 4-мерной алгеброй, при добавлении внешней силы в первое
уравнение импульсов. Соответствующая подмодель для случая, когда сила отсутствует,
описана в [3]. Движение газа при наличии потенциальных внешних сил, описываемое простой
волной, рассматривается в [4]. Предлагаемое решение не сводится к простой волне и
является новым.
Исследованы решения, соответствующие различным режимам движения газа при различных
соотношениях кинетической и потенциальной энергий. Математическая модель
сводится к неявному дифференциальному уравнению первого порядка. Свойства подобных
уравнений описаны в [5].
t∂y+∂v, ∂t. Инвариантами данной подмодели являются x, u, w, ρ, p, S, где u, w — компоненты
скорости; термодинамические параметры ρ, p, S —плотность, давление и энтропия
1. Описание модели. Алгебра, порождающая решение, имеет базис L4 = ∂y, ∂z,
соответственно. Лишняя функция—компонента скорости v. Представление решения имеет
вид
u = u(x), v = v(t,x, y, z), w = w(x),
(ρ,S, p) | x.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код
проекта 05-01-00080) и фонда “Ведущие научные школы России” (грант № НШ-5245.2006.1).
◦ 6
3
Стр.1
4
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2006. Т. 47, NУравнения
подмодели имеют вид
uu +ρ−1p = g0, vt +uvx +vvy +wvx = 0, uw = 0,
uρ +ρ(u +vy) = 0, uS = 0,
◦ 6
(1.1)
где g0 = const, g0 = 0; штрих означает дифференцирование по x.
Рассмотрим случай u = 0. Тогда подмодель (1.1) описывает изоэнтропические двиv
= h(x)y +V (t,x, z),
где
h = −(u(ln ρ) +u).
соотношения по y, получим
uh +h2 = 0;
Vt +uVx +W0Vx +hV = 0.
(1.4)
(1.5)
Первое и третье уравнения в (1.1), а также уравнения (1.3), (1.4) образуют инвариантную
подсистему. Переопределенная система для неинвариантной компоненты, включающая
второе и четвертое уравнения из (1.1), расщепляется на инвариантное уравнение (1.4)
и уравнение (1.5) для неинвариантной части. После интегрирования инвариантной подсистемы
(1.5) интегрируется как линейное уравнение.
Интегрирование инвариантной системы можно свести к решению обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка и нескольким квадратурам. Введем функцию
σ = σ(x), σ = const, так что σ = 1/h. Тогда уравнение (1.4) принимает вид uσ = 1 и
получаем представление
u = 1/σ, h = 1/σ.
σ/σ = 0 и интегрируется:
ρ = R0|σ/σ|, R0 = const .
u2/2+I(ρ) = g0x+b0
(I(ρ) =
пическое). Подставляя (1.6), (1.7) в (1.8), получаем
1
2(σ)2 + c2
0
где c2
Интегралы уравнения (1.5) выражаются через функцию σ = σ(x) конечными формулами.
В результате получаем решение в виде
0 = γS0Rγ−1
0 = const.
u = 1
σ , v = y +H(ξ, η)
σ
, w = W0, ρ = R0
σ
σ
, S = S0, p = S0ργ,
(1.10)
γ −1
σ
σ
γ−1
(1.6)
В терминах функции σ(x) уравнение неразрывности (1.3) имеет вид (ln ρ) − σ/σ +
(1.7)
Функция σ = σ(x) является решением первого уравнения импульсов в (1.1), проинтегрировав
которое получаем инвариантный интеграл Бернулли:
(1.8)
dp/ρ — энтальпия газа). Для политропного газа p = S0ργ (движение изоэнтро=
g0x+b0,
(1.9)
(1.3)
Подставляя представление (1.2) во второе уравнение (1.1) и расщепляя полученные
жения газа S = s0 = const. Кроме того, из третьего уравнения (1.1) следует, что
w = W0 = const, из четвертого уравнения получаем представление
(1.2)
Стр.2
Д. В. Паршин, А. П. Чупахин
5
где H — произвольная функция аргументов ξ = t − σ(x), η = z − W0t; W0, R0, S0 —
произвольные константы. Функция σ = σ(x) удовлетворяет уравнению (1.9).
2. Ключевое уравнение. Уравнение (1.9) можно записать в виде
(σ)2
σ
σ
γ−1
−
g0(γ −1)
c2
0
x+ b0
g0
(σ)2 + γ −1
2c2
0
Теорема 1. Размерность пучка интегральных кривых для ключевого уравнения (2.1)
не превышает четырех для произвольного рационального показателя γ > 1.
Доказательство. Ключевое уравнение (2.1) для любых рациональных показателей
γ либо является алгебраическим относительно производной, либо сводится к таковому
заменой переменных.
Для оценки числа положительных вещественных корней можно применить правило
Декарта, согласно которому количество положительных вещественных корней многочлена
не превышает числа перемен знаков в последовательности его коэффициентов [6].
Учитывая, что рациональное число γ > 1, рассмотрим все возможные случаи:
γ = 2m, γ = 2m+1, γ = 2m
2n+1, γ = 2m+1
(σ)2
σ
σ
2m−1
−
g0(2m−1)
c2
0
x+ b0
g0
2n , γ = 2m+1
2n+1
(m, n — натуральные числа).
1. Пусть в (2.2) γ = 2m. Тогда ключевое уравнение (2.1) записывается в виде
(σ)2 + 2m−1
2c2
0
ласть, где σσ < 0. В каждой из этих областей модуль раскрывается двумя способами.
Выпишем последовательность знаков при соответствующих степенях производной в зависимости
от знака σ и σ:
Область существования решения делится на две части: область, где σσ 0, и об—
если σσ 0, то (+,−,+);
— если σσ < 0, то (−,−,+).
В каждой из перечисленных областей ключевое уравнение имеет не более двух положительных
корней. Для того чтобы подсчитать число отрицательных корней, необходимо
выполнить замену σ →−σ. Однако в этом случае число отрицательных корней также не
превышает двух, следовательно, ключевое уравнение имеет не более четырех вещественных
корней в области существования решения, и для него существует не более четырех
интегральных кривых, проходящих через одну точку. Теорема доказана.
2. Если γ = 2m+1, последовательность знаков сохраняется.
3. Если γ = 2m/(2n + 1), то ключевое уравнение заменой (σ)1/(2n+1) → q сводится к
приводит к уравнению (2.3). Следует отметить, что при замене извлекается корень четной
степени, но на число корней это не оказывает влияния, так как знакоопределенность
функции σ уже учтена.
5. Если γ = (2m+1)/(2n+1), то замена (σ)1/(2n+1) →q приводит ключевое уравнение
интегральных кривых ключевого уравнения (2.1) не превышает четырех.
Для определенности рассмотрим случай γ = 3. Выполняя замену
x+b0/g0 →x, σ →|1/c0|X
= 0.
(2.3)
(2.2)
= 0.
(2.1)
уравнению (2.3), для которого необходимое утверждение уже доказано.
4. Если γ = (2m + 1)/(2n), то замена (σ)1/(2n) → q в ключевом уравнении вновь
к уравнению (2.3), для которого необходимое утверждение доказано.
Таким образом, для всех возможных рациональных показателей γ размерность пучка
Стр.3