ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2003. Т. 44, NУДК
532.522.2:538.4
МОДЕЛЬ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭВОЛЮЦИИ ДЛИННОВОЛНОВЫХ
ВОЗМУЩЕНИЙ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ СТРУЕ С ТОКОМ
В ПРОДОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ.
СТОЛКНОВЕНИЕ ЗАМАГНИЧЕННЫХ СТРУЙ
В. В. Никулин
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск
В рамках магнитогидродинамического подхода выведена система уравнений, описывающая
нелинейную эволюцию длинноволновых осесимметричных возмущений на жидкой
проводящей струе с поверхностным электрическим током, расположенной вдоль оси
проводящего твердого цилиндра в продольном магнитном поле. Считается, что жидкость
невязкая, несжимаемая и, так же как стенки цилиндра, идеально проводящая.
Показано, что если продольное поле однородное, а осевое течение бессдвиговое, то в
зависимости от параметров задачи данная система может быть либо гиперболической,
либо эллиптически-гиперболической. Определены границы областей гиперболичности и
эллиптичности в пространстве решений. В области гиперболичности получены уравнения
характеристик и условия на них. Рассмотрена задача о распаде разрыва скорости
на струе. Найдены условия, когда существует непрерывное автомодельное решение в
области гиперболичности, соответствующее столкновению струй.
Ключевые слова: магнитная гидродинамика, струя, длинноволновое приближение.
◦ 3
3
Введение. Аналитические исследования эволюции возмущений на жидких проводниках
со свободными границами до настоящего времени выполнялись в линейном приближении
и в основном спектральными методами [1–3]. В последнее время для этих задач удалось
применить прямой метод Ляпунова [4]. Однако аналитических исследований нелинейной
стадии развития возмущений проведено недостаточно.
При изучении нелинейных задач из-за их сложности часто используются различные
приближенные модели, описывающие существенные особенности рассматриваемых процессов.
Одним из таких упрощений является асимптотическое приближение длинных волн
или мелкой воды, используемое при исследовании волн в жидкости [5, 6]. В рамках модели
мелкой воды оказалось возможным исследовать важные закономерности нелинейных
эффектов, характерных для рассматриваемых течений, разработать точную теорию, а
также решить прикладные задачи. Кроме того, данная теория получила математическое
обоснование при изучении течения однородной жидкости в тонком слое [7, 8].
В настоящей работе длинноволновое приближение распространяется на случай струйного
МГД-течения со свободной границей. Предложена модель, в рамках которой описывается
нелинейное поведение длинноволновых возмущений на жидкой проводящей струе с
поверхностным электрическим током в продольном магнитном поле. Данная модель позволяет
выполнять аналитические исследования и имеет определенный физический смысл,
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код
проекта 99-01-00614).
Стр.1
4
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2003. Т. 44, N◦
3
что подтверждают результаты, полученные в случае, когда продольное магнитное поле
однородное, а осевое течение бессдвиговое.
1. Постановка задачи. Изучается жидкая проводящая струя неограниченной длины
в продольном магнитном поле, по поверхности которой течет постоянный электрический
ток J. Струя расположена вдоль оси бесконечно проводящего цилиндра радиуса r0. Вводится
цилиндрическая система координат (r∗, ϕ, z∗), ее ось z∗ совпадает с осью струи.
Используются следующие обозначения: v1, v2, v3, H1, H2, H3, H∗
ты скорости жидкости, магнитного поля внутри и вне струи, соответствующие системе
координат (r∗, ϕ, z∗), P — давление, ρ — плотность, t∗ — время. Полагается, что при
1 , H∗
2 , H∗
3 — компонендвижении
жидкости в проводящей струе v2 ≡ 0, H2 ≡ 0. Кроме того, считается, что это
движение является осесимметричным, а сама жидкость — невязкой, несжимаемой и идеально
проводящей. Действие сил поверхностного натяжения на свободной границе струи
не учитывается.
В силу данных предположений уравнения одножидкостной идеальной магнитной гидродинамики
[9] принимают вид
ρ∂v1
∂t∗ +v1
ρ∂v3
∂t∗ +v1
∂v1
∂r∗ +v3
∂v3
∂r∗ +v3
∂(Ar∗)
∂t∗ +v1
H1 = −
1
понента векторного потенциала (магнитная проницаемость проводящей струи полагается
равной единице).
Вне струи при пренебрежении током смещения уравнения магнитного поля имеют вид
Здесь P∗ ≡ P + (H2
∂H∗
∂z∗ −
1
1 + H2
3 )/(8π) — модифицированное давление; A — азимутальная ком∂H∗
3
∂r∗
= 0, H∗
2 = 2J
r∗ ,
∂H∗
∂z∗ + 1 ∂(H∗
3
r∗
P∗ = (H∗
1 )2 +(H∗
H1 −H3
2 )2 +(H∗
8π
v1 = 0, H1 = 0 (r∗ = 0),
3 )2
, v1 = ∂r1
∂t∗ +v3
∂r1
∂z∗ = 0, H∗
H∗
1 −H∗
3
∂r1
∂z∗
1 = 0 (r∗ = r0).
При переходе к длинноволновому приближению введем безразмерные переменные и
величины t, η, z, q, w, p∗, h, H, a, h∗, æ, H∗:
r∗2 = ηL2δ2, z∗ = zL, t∗ = tL/v0, 2v1r∗ = qv0Lδ2, v3 = wv0, P∗ = p∗ρv2
2H1r∗ = hLδ2H0, H3 = HH0, 2Ar∗ = aδ2L2H0,
0,
∂r∗ = 0.
1r∗)
(1.2)
На оси проводящей струи, ее границе (r∗ = r1(z∗, t∗)) и стенках цилиндра ставятся
следующие краевые условия:
(r∗ = r1(z∗, t∗)),
∂r1
∂z∗ = 0 (r∗ = r1(z∗, t∗)),
(1.3)
∂v1
∂z∗
∂v3
∂z∗
= −
= −
∂P∗
∂r∗ + H1
4π
∂P∗
∂z∗ + H1
4π
∂(Ar∗)
∂r∗ +v3
∂A
∂z∗ , H3 = 1
r∗
∂(v1r∗)
∂r∗ + ∂v3
∂H1
∂r∗ + H3
4π
∂H3
∂r∗ + H3
4π
∂(Ar∗)
∂z∗ = 0,
r∗
∂(Ar∗)
∂r∗ ,
∂z∗ = 0.
∂H1
∂z∗ ,
∂H3
∂r∗ ,
(1.1)
Стр.2
В. В. Никулин
2H∗
1r∗ = h∗Lδ2H0, H∗
2r∗ = æLδH0, H∗
3 = H∗H0.
Здесь L — характерный масштаб вдоль оси z∗; H0 — характерная величина магнитного
поля, равная H∗
H0/(4πρ)1/2 — характерная скорость; δ = r10/L. Считается, что δ 1. В безразмерных
переменных уравнения (1.1), (1.2) запишутся в виде
δ2(qt +qqη −q2/(2η)+wqz) = −4ηp∗η +δ2(hhη −h2/(2η)+Hhz),
wt +qwη +wwz = −p∗z +hHη +HHz, qη +wz = 0,
at +qaη +waz = 0, h = −az, H = aη;
η = 0.
δ2h∗
z −4ηH∗
η = 0,
ж = 1, H∗
z +h∗
q = 0, h = 0 (η = 0),
q = η1t +wη1z
(η = η1),
p∗ = δ2(h∗)2/(8η1)+1/(2η1)+(H∗)2/2 (η = η1),
h−Hη1z = 0 (η = η1);
h∗ −H∗η1z = 0 (η = η1), h∗ = 0 (η = η0),
2 при r∗ = r10 (H0 = 2J/r10); r10 — характерный радиус струи; v0 =
5
(1.4)
(1.5)
Здесь и далее нижний индекс обозначает соответствующую частную производную. Краевые
условия (1.3) принимают вид
(1.6)
(1.7)
где η1(t, z) и η0 соответствуют r1(t, z) и r0.
При переходе в (1.4)–(1.7) к длинноволновому приближению слагаемые, пропорциональные
δ2, опускаются. В этом случае система (1.5) с условиями (1.7) имеет решение
h∗ = H∗
магнитного поля между струей и стенками цилиндра. Тогда условие для p∗ из (1.6) (с
учетом δ2 →0) принимает вид
p∗ = 1/(2η1)+Φ2/[2(η0 −η1)2].
Для системы (1.4) длинноволновое представление не является окончательным, поскольку
она может быть еще упрощена путем перехода (см. [4, 10]) к смешанным эйлероволагранжевым
переменным t, z, ν, определяемым соотношениями
t = t, z = z, η = R(t, z, ν), ν ∈ [0, 1].
При этом полагается, что функция R удовлетворяет уравнению и краевым условиям
q = Rt +wRz, R(t, z, 0) = 0, R(t, z, 1) = η1(t, z).
(1.9)
Таким образом, переменную ν можно интерпретировать как номер соответствующей жидкой
линии. Кроме того, из (1.9) следует, что краевые условия (1.6) (для функции q) выполняются
автоматически. Отметим, что при такой замене переменных неизвестная свободная
граница η = η1 переходит в известную фиксированную границу ν = 1.
В новых смешанных эйлерово-лагранжевых переменных (при пренебрежении слагаемыми
с δ2) уравнения (1.4) запишутся в виде
p∗ν = 0,
Rν(wt +wwz) = −Rνp∗z +hHν +RνHHz −HRzHν,
qν +Rνwz −Rzwν = 0,
at +waz = 0,
(1.10)
z (η0 −η), H∗ = H∗(t, z) = Φ/(η0 −η1), где Φ = const — безразмерный осевой поток
(1.8)
Стр.3