Естественные и технические науки, № 1, 2012
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
Физико-математические науки
Математика
Вычислительная математика
Мусаев А.М., старший преподаватель
Азербайджанской государственной нефтяной
академии
О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННЫМИ
ИТЕРАЦИОННЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ В L ( +Rp
) ( ≥p
1 ) .
)
В настоящей работе предлагается способ построения нового обобщенного итерационного
оператора, дающего высокий порядок приближения в L ( +Rp
Ключевые слова: проблема насыщения, классы, линейные операторы, сингулярные интегралы.
ON
FUNCTION APPROXIMATION USING GENERIC
ITERATIVE INTEGRAL OPERATORS IN
L ( +Rp
) ( ≥p
1 ) .
Keywords: saturation problem, classes, linear operators, singular integrals.
Абстракт
Проблема насыщения была впервые поставлена Фаваром в 1937 году.
В решении проблемы определения классов насыщения получен ряд важных результатов
Алексичем, Заманским, Алянчичем, Ф.И. Харщиладзе, А.Х.Турецким, Бутцером, Беренцом,
Несселем, Суноути, Р.Г. Мамедовым и другими. Беренцом и Бутцером [1] определены класс
и порядок насыщения приближения функции
оператором
x
R f x =
( ; )
с положительным ядром K t = K t >
−
( )
что порядок насыщения есть 0(
∫ f x t K t dt
0
( − )
( )
( ) 0 в метрике пространства L
) (0 < ≤1 ) .
L
p (0; )∞ . Они показали,
дов [3] и другие определили порядок и класс насыщения различных сингулярных интегралов
и линейных операторов в пространстве
Пользуясь методом преобразования Фурье, Бутцер, Нессель [2], Суноути [6], Р.Г. Мамеp
( ∞−∞; ) .
Основные результаты, полученные за последние годы различными авторами о решении
проблемы насыщения, подробно изложены в монографиях Р.Г. Мамедова [3] и БутцераБеренца
[5]. В работах [7] и [8] были рассмотрены линейные интегральные операторы, дающие
высокий порядок приближения.
16
f t e f t Lp
c t
( )(
−
( )∈
(0, ),C∞ > 0, p ≥1 ) линейным
)
This work proposes a method for composing a new generic iterative operator providing a higher approximation
order in L ( +Rp
σ
σ
σ
λ
σ
λ
λ
λ
λ γ
λ
γ
Стр.1
Естественные и технические науки, № 1, 2012
В настоящей работе предлагается способ построения на основе оператора
x
i
T f x =
,i ( ; )
L ( +Rp
) ( ≥p
1 ) .
∫ f x −
( )
0
(
i ( ) )t K t dt
,i ( )
нового обобщенного итерационного оператора, дающего высокий порядок приближения
в
E. ∈E;
N
d1)
d2)
∑ ≤
=1
j 1
N
j
d3) 0 < ≤
вами:
l1)
i =
Пусть E – некоторое множество на вещественной оси; 0 – предельная точка множества
i =
i ( ) ( 1,e),
∑ =
=
j ( ) ( j N0, ) – числовые функции, обладающие свойствами:
=
j ( ) 1 для каждого ∈ E ,
j ( ) M , где M не зависит от ∈ E ,
i ( ) ≤
, где
не зависит ни от
K t ∈ +RL
x
, ( )
i
i
l2)
∫K t dt
( )
0
,i ( )
Выражение
x
H
[ , ]
e N
( ; )
f x = ∫ ∑ ()
e−
e
( )
0
N
j=1
будем называть обобщенными итерационным оператором, где
e
W f x =
[ ; ]
e j
( ; )
W f x =
[ ]
e
( ; )
(
⎨
⎧
⎩
⎪
⎪W (W
[ ]
e
⎨
⎧
⎩
⎪
W f x W f x = f x( ) при ,l j N,
e j−
[ ,0]
( ; ) =
[ ; 1]
[0, ]
j
( ; ) при ,e j N
f x
⎪T T ,2 (...(T f x
x
f x( ) при e = 0,
,1(
∗ g x)( ) = ∫
0
∈
,e ( ; ))...) при e ≥1,
(x t g t dt ,
− ) ( )
17
( ; )
∈
j ( )W f K x
[ 1, ]
j
∗
,e
~ ( −
j−1
e ( ) )t K t dt i =( 1,e)
,e ( )
(1)
(
) ( 1, )e
i =
⎯⎯→
→
0
1 ( 1,e ) .
i
и K t dt i =( 1,e )
0
∫
∞
⎯ =
,i ( )
и не от i =1,2,..., .
e
K ti, ( ) ( 1, )e , определённая на R+ = (0, )∞ функции, называемая ядром, со свойстλ
αλ
αλ
λ
λ
βλ
σ
λ
αλ
βλ
β
λ
α
λ
δ
λ
λ
αλ
λ
α
λ
α
αλ
λ
λ
βλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ϕ
ϕ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
αλ
λ
λ
Стр.2
Естественные и технические науки, № 1, 2012
g x( ), при j =1
∗
g x =
∗ j
и
K t
,e
Заметим, что если f x ∈ RLp
( )
H
( )
[ , ]
e N
( ; )
f
⋅
L R )
p
(
(
~ ( ) =
+
e
( )
1
i
K ,e⎜
⎛
⎜
⎝
ствует почти всюду на +R и выполняется неравенство
e
+ ≤ ∑ ∏ K ,i L R )
j=1
⎣
⎡
⎢
⎢
и функции
удовлетворяется условие:
N
j
K ,i (
^
lim
→ 0
( )
⎢
m L R );
⎣
⎡
p
(
n L R );
⎣
⎡
⎢
p
(
+
,
j=1
i=1
то будем говорить, что ядро K ti, ( ) ( 1, )e
условию G .
N ( )
i =
Введём класс функций:
+
e N ( )s ⎥ = f x L R )
+
,
e N ( )s ⎥ =
⎦
⎤
⎪
⎨
⎪
⎩
и f x L Rp
( )∈
(
+
) (
⎦
⎤
{
( )∈
( )∈
f x L R )
( )∈
p
(
(
p
⎧ f x L R )
+
(
,
+
N
j ( )
i=1
G . Если для неотрицательной функции
e, ( )sN
1−∑ ∏ []( )
e
i ( ) )
s
= e, ( )sN
≠ 0,
(2)
интегрального оператора (1) удовлетворяет
e N ( )s f s h s h x L R )}
+
^
,
e N ( )s f s =
^
e N ( )s f s h s h x L R ) (p >1)
^
,
( ) =
^
( ), ( )∈
( )
p
(
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть ядро сингулярного интеграла (1) удовлетворяет условию
> 0, p ≥1 ) . Тогда если для функции h x ∈ RLp
e N
(
f x H
( ) −
при → , то f x m L R );
0
18
( ) =
[
p
(
+
[ , ]
N ( )
( ; )
e N, s( )]
f x h x
− ( )
L R+
p
(
)
= 0(1 )
+
( )
( ) =
^
s
^
( ), ( )∈
( ), ( )x BVL R p =1)
+
∈
(
+
) (
p
(
j
j
(
+
e ( ) ⎟ .
t
) и K t L R i =
, ( )∈ +
(
⎞
⎟
⎠
) ( 1,e ) , то оператор (1) суще⎦
⎤
⎥
⎥
f
Для
дальнейших изложений нам понадобятся следующие условия:
Условие
( )
⎨
⎧
⎩
⎪
⎪(g g
∗ −j 1
), при j ≥ 2
L R )
p
(
+
N ( ) ( N → → ))
( ) 0 (
0
G( )
) имеет место:
(3)
λ
λ
αλ
λ
σ
σ
λ
ϕ
ξ
λ
αλ
λ
βλ
λ
ϕ
λ
σ
λ
ϕ
λ
ξ
αλ
λ
βλ
λ
ϕ
λ
μ
ξ
λ
σ
σ
ϕ
σ
ξ
σ
σ
λ
λ
σ
ξ
σ
ξ
ξ
σ
σ
μ
σ
σ
σ
ϕ
ϕ
λ
λ
ξ
σ
Стр.3