Естественные и технические науки, № 3, 2011
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
Физико-математические науки
Математика
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Яндаров В.О., кандидат физикоматематических
наук, профессор, советник
ректора Грозненского государственного
нефтяного института
им. академика М.Д. Миллионщикова
КРИТЕРИИ РАЗРЕШИМОСТИ ПРОБЛЕМЫ С. БАНАХА
О РАЗЛОЖИМОСТИ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Устанавливаются критерии отрицательной разрешимости проблемы С. Банаха о разложимости
банаховых пространств.
Ключевые слова: банахово пространство, подпространство, рефлексивность, сопряженное.
THE PROBLEM OF SOLUTION CRITERIA OF S. BANAKH
ABOUT DECOMPOSITION BANAKHOV'S SPACES
The problems about decomposition Banakhov's space and the criteria negative solution are established.
Keywords: Banakhov's space, subspace, reflexifity, conjugate.
Как обычно, мы начинаем статью с определений, которые либо редко встречаются, либо
ством. Мы часто исследуем бесконечномерные банаховы пространства Х и Х1 такие, что Z*
является сопряженным пространством по отношению к Х1 или его подпространству. Пространство
Z* участвует в определениях важных понятий дефлектора и тотализатора. Подпространство
Y⊂Х*
1, сопряженном к Х1. Отметим, что Z* часто не является сопряженным простран(*)
– замкнутым, если для ∀х*∈Х*
Подпространство Y⊂Х*
1, сопряженного к Х1 пространства, называется регулярно замкнутым или
1\Y существует такой элемент х∈Х1, что:
х*(х)=1, х(Y)=0 или х(y)=0∀y∈Y.
1, называется квазирегулярно замкнутым в Х*
ство (ядро) Kerх*⊂Х1 обладает свойством (W), что означает по определению выполнение
равенства: Wх(Kerх*)=Wх(Х1), т.е. относительное пополнение гиперподпространства (ядра)
Kerх* совпадает с относительным пополнением Wх(Х1) всего пространства Х1 относительно
Х. Ненулевой элемент х**∈Х**
(в Х**
1 называется дефлектором (в Х*
1), если х**(z*)=0, ∀z*∈Z*. Ясно, что если Х*
и ни дефлекторов.
18
1, второго сопряженного к Х1, называется тотализатором
1=Z*, то не существует ни тотализаторов,
(1)
1, если выполняются
равенства (1), когда х∈Wх(Х1). Через Wх(Х1) обозначается относительное пополнение Х1∈Е(Х)
относительно Х[1]. Известно [1,2], что Z**=Wх(Х1) – сопряженное к Z* пространство.
Ненулевой элемент х*∈Х*
1), если его гиперподпространкоторых
нет в математике. Пусть Х1 и Х – бесконечномерные банаховы пространства над
одним и тем же числовым полем, скажем, действительных чисел. Если рассматривается символика
Х1∈Е(Х), то это означает, что Х1 слабо компактно и плотно вложено в Х(Х1⊂Х). Если
Х1∈Е(Х), то через Z* обозначается замыкание Х*, сопряженного к Х пространства, в пространстве
Х*
Стр.1
выполняется равенство х*(х)=0, то х – нулевой элемент в Х1. Очевидно, если подпространство
Y⊂Х*
Естественные и технические науки, № 3, 2011
Подпространство Y⊂Х*
1 называется тотальным (на Х1), если для х∈Х1 и любого х*∈Y
∀х*∈Y.
Пусть Y1 и Y2 – подпространства в Х1, отличные от нуль-элемента. Если Х1 представимо
в виде суммы (алгебраической):
Х1= Y1+Y2, Y1IY2={0},
то эта сумма называется прямой суммой и обозначается: Х1= Y1⊕Y2 [3–6]. Оператор Р:
Х1→Y1 или Р(Х1)=Y1 называется проектором Х1 на Y1, а подпространство Y1 называется дополняемым
в Х1. Если проектор Р непрерывен, то прямая сумма Х1=Y1⊕Y2 называется топологической
(обозначение: Х1=Y1+ Y2). Известно (см., например, [3]), что если Y1 и Y2
•
в прямой сумме – замкнутые подпространства в Х1, то прямая сумма Х1=Y1⊕Y2 является
топологической. Во всех своих работах мы под прямой суммой понимаем топологическую
прямую сумму и в большинстве случаев не вводим других обозначений, так как Y1 и Y2 у нас
мыслятся замкнутыми подпространствами. Если одно из двух слагаемых в прямой сумме является
аннулятором какого-нибудь подпространства в Х1 или Х*
лексивно, необходимо и достаточно, чтобы каждое собственное замкнутое подпространство
Y⊂Х*
1 было не тотально на Х1.
Доказательство. Необходимость. Пусть Х1 рефлексивно. Тогда, как известно [4-6], сопряженное
к Х1 пространство Х*
дое замкнутое подпространство Y⊂Х1 или Y⊂Х*
замкнутое подпространство в Х1 и Y*
Х*
странство Y⊂Х*
1∈Е(Х*
1: для любого х*∈Х*
1). По определению Z* – замыкание Х**
1. В самом деле, так как Х*
1 имеет сопряженное пространство Y*⊂Х1=Z*. Отсюда следует, что Y*=Y11=Y=Y**,
т.е. Y⊂Х*
1 является сопряженным к некоторому замкнутому подпространству
1, Y и Y* рефлексивны, то можно рассматривать
1=Х1 в Х**
1 не
элемент х∈Х1 такой, что х*(х)=1, х(Kerх*)=0. Из последнего равенства следует существование
числа λ такого, что х**= λх∈Х1, т.е. Х**
в Х**
второго сопряженного к Х1, будет регулярно замкнуто в Х*
1, следует равенство Х**
1). Тогда по теореме 2 в [8] ядро Kerх** любого функционала х**∈Х**
1:∀х*∈Х*
С л е д с т в и е 1. Для того чтобы Х1 было рефлексивно, необходимо и достаточно, чтобы
каждое гиперподпространство в Х*
1=Х1, что означает рефлексивность Х1. Теорема 1 доказана.
1 было не тотально на Х1 (регулярно замкнуто на Х1).
сопряженное Y* к любому собственному замкнутому подпространству Y⊂Х1 регулярно замкнуто
в Х*
Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказательству теоремы 1.
Т е о р е м а 2. Пусть Х1∈Е(Х). Следующие утверждения эквивалентны: 1) Х*
подпространству Y⊂Х1 не тотально на Х1.
19
1, сопряженном к Х1; 3) сопряженное Y* к любому собственному замкнутому
1=Z*; 2)
1⊂Х1. Отсюда, так как Х1 естественно вложено
1\Kerх** существует
1,
1, также рефлексивно. Кроме того, также известно, что каж1
рефлексивного пространства является
рефлексивным. Следовательно, если Х1 рефлексивно, то любое собственное замкнутое подпространство
Y⊂Х*
Y1⊂Х1: Y=Y*
Х*
1=Х1. Тогда замкнутое подпро1
является регулярно замкнутым в
Из этих равенств вытекает, что Y не тотально на Х1. В силу произвольности выбора собственного
замкнутого подпространства Y⊂Х*
тотально на Х1. В частности, нетотальным на Х1 будет и каждое гиперподпространство
Kerх**⊂Х*
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть каждое собственное замкнутое подпространство Y⊂Х*
1 (х**∈Х**
1\Y существует такой элемент х∈Х1, что выполняются равенства (1).
1 необходимость доказана.
1 не тотально на Х1, то существует ненулевой элемент у∈Х1 такой, что х*(у) = 0,
1, то прямое слагаемое называется
супердополняемым в рассматриваемом пространстве.
Т е о р е м а 1. Для того чтобы бесконечномерное банахово пространство Х1 было реф
Стр.2
Y⊂Х1 пространство Y* не тотально на Х1 (см. равенства (1)), т.е. справедливо утверждение
3). Доказаны импликации 1)⇒2)⇒3). Докажем, что из утверждения 3) вытекает утверждение
1). Предположим, что существует дефлектор х*∈Х*
нутому подпространству Y⊂Х1 регулярно замкнуто в Х*
(Kerх*)* тотально на Х1(Wх(Х1)). Это противоречит утверждению 3). Следовательно, предположение
о том, что существует дефлектор х*∈Х*
сопряженное Y* к любому гиперподпространству Y=Kerх*, где х* – ненулевой элемент из
Х*
ведлива. Теорема 2 доказана.
С л е д с т в и е 2. Пусть Х1∈Е(Х). Следующие утверждения эквивалентны: 1) Х*
1, сопряженного к Х1, регулярно замкнуто в Х*
пространству Y=Kerх*(х*∈Х*
1) не тотально на Х1.
Т е о р е м а 3. Следующие утверждения эквивалентны: 1) Х1 рефлексивно; 2) каждое
собственное замкнутое подпространство Y в Х*
Х*
1; 3) каждое собственное замкнутое подпространство Y⊂Х*
1 регулярно замкнуто в Х*
1, сопряженном к Х1, регулярно замкнуто в
1 не тотально на Х1.
Доказательство. По теореме 3 в [9] утверждения 1) и 2) эквивалентны. На основании теоремы
1 данной статьи эквивалентны утверждения 1) и 3). Теорема 3 доказана.
С л е д с т в и е 3. Следующие утверждения эквивалентны: 1) Х1 рефлексивно; 2) каждое
гипереподпространство Y⊂Х*
Y⊂Х*
1; 3) каждое гипереподпространство
1 не тотально на Х1.
Доказательство аналогично доказательствам теоремы 1 данной статьи и теоремы 3 в [9].
Т е о р е м а 4. Для того чтобы Х1 было рефлексивно, необходимо и достаточно, чтобы
для каждого собственного замкнутого подпространства Y в Х*
1, сопряженном к Х1, существовало
такое собственное замкнутое подпространство Y1⊂Х1, что имеет место прямая сумма:
Х1=Y1⊕Y⊥(Х1).
(2)
Доказательство.
Н е о б х о д и м о с т ь. При доказательстве необходимости в теореме 1
было доказано, что если Х1 рефлексивно, то любое замкнутое подпространство Y⊂Х*
ется сопряженным к некоторому замкнутому подпространству Y1⊂Х1:Y=Y*
1 явля1.
Тогда по теореме
8 в [10] справедливо равенство (2).
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть имеет место прямая сумма (2). Из равенства (2) следует, что
каждое собственное замкнутое подпространство Y⊂Х*
мкнуто в Х*
1 не тотально на Х1 или регулярно за1.
Тогда по теореме 3 Х1 рефлексивно. Теорема 4 доказана.
Следовательно, в рефлексивных пространствах Х1 и Х*
странство Y⊂Х*
странстве Х*
Замечание. Анализируя теорему 4, в частности, можно сделать следующий вывод: в про1,
сопряженном к рефлексивному пространству Х1, каждое замкнутое подпро1
является сопряженным к некоторому замкнутому подпространству в Х1.
1 их замкнутые подпространства находятся
во взаимнооднозначном соответствии. Таким образом, формулировка теоремы 4 для
произвольного замкнутого подпространства в Х*
для супердополняемости произвольного замкнутого подпространства в Х1, т.е. теорема 4 так
же, как и теорема 8 в [10], решает проблему С. Банаха о разложимости банаховых пространств
[7-10]. Поэтому имеет место следующее утверждение.
С л е д с т в и е 4. Для того чтобы Х1 было не рефлексивно, необходимо и достаточно,
1, сопряженном к Х1, существовало собственное замкнутое подпрочтобы
в пространстве Х*
20
1 равносильна формулировке этой теоремы
Естественные и технические науки, № 3, 2011
Доказательство. Пусть Х*
1=Z*. Тогда по теореме 9 в [7] сопряженное Y* к любому замк1.
Это означает, что для любого
дает свойством (W):Wх(Kerх*)=Wх(Х1) (Kerх*∈(W)). Пространство (Kerх*)*, сопряженное к
Kerх*, тотально на Х1. В самом деле, так как Kerх*⊂Х1, то Х*
всегда Z*⊂Х*
1, получаем, что Z*⊂(Kerх*)*. Следовательно, сопряженное пространство
1, не верно. Итак, импликация 3)⇒1) спра1=Z*;
2)
1. Это означает, что ядро Kerх* обла1⊂(Kerх*)*.
Отсюда, так как
1; 3) сопряженное Y* к любому гиперпод
Стр.3