В.И. Малыхин ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Второе издание, переработанное и дополненное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений Рекомендовано Учебно-методическим центром «Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений Москва • УДК 336:51(075.8) ББК 65.26в6. <...> ISBN 5-238-00559-8 Рассмотрены вопросы финансовой математики в условиях определенности (наращенные и дисконтированные суммы, потоки платежей, ренты, кредитные расчеты, оценка инвестиционных проектов, финансовые расчеты на рынке ценных бумаг), а также в условиях неопределенности, в том числе теория оптимального портфеля, теоретико-вероятностные методы и финансовые риски. <...> Если на большом рынке 1% всех рисковых бумаг по стоимости составляют акции и облигации «General Motors», то и в Вашем портфеле среди рисковых бумаг бумаги этой компании должны составить такую же долю! <...> Важной целью было также желание продемонстрировать студентам полезность применения уже в основном изученной ими вузовской математики в других важных областях. <...> НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ДЕНЕЖНЫХ СУММ Глава 2. <...> 2 — потоки платежей, в основном рентных, затем излагаются разнообразные методы погашения займов (гл. <...> Глава 1 НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ДЕНЕЖНЫХ СУММ Денежные суммы изменяются во времени. <...> Наращение простых процентов Основные термины — единичный промежуток начисления и ставка процента. <...> К концу n-го промежутка начисления наращенная сумма станет Pn = P(1 + ni). <...> При наращении простых процентов процентные деньги растут в арифметической прогрессии. <...> 1.1, где Р — начальная сумма, отрезки PkTk — наращенные суммы и отрезки PkMk — процентные деньги. <...> Наращение сложных процентов При наращении сложных процентов по ставке i каждая следующая сумма возрастает на долю i от предыдущей. <...> К концу n-го промежутка начисления наращенная сумма станет Pn = P(1 + i)n. <...> В дальнейшем, если не указано <...>
Финансовая_математика._2-е_издание._Уч_пос_Гриф_МО_РФ(изд2).pdf
УДК 336:51(075.8)
ББК 65.26â6.ÿ73
Ì20
Рецензен ты:
кафедра математики Московского государственного
технологического университета «СТАНКИН»
(çàâ. кафедрой ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Í.Í. Холщевникова)
êàíä. ýêîí. íàóê, äîö. ß.Ñ. Мелкумов
Главный редактор издательства
доктор экономических наук Н.Д. Эриашвили
Малыхин В.И.
Ì20
Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. —
2-å èçä., ïåðåðàá. и äîï. — Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, —
237 ñ.
ISBN 5-238-00559-8
Рассмотрены вопросы финансовой математики в условиях определенности
(наращенные и дисконтированные суммы, потоки платежей, ренты,
кредитные расчеты, оценка инвестиционных проектов, финансовые расчеты
на рынке ценных бумаг), а также в условиях неопределенности, в том
числе теория оптимального портфеля, теоретико-вероятностные методы и
финансовые риски. Даны вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельного
решения и ответы к ним.
Для студентов и преподавателей экономических и финансовых специальностей
вузов.
ББК 65.26â6.ÿ73
ISBN 5-238-00559-8 © Â.È. Ìàëûõèí, 1999, 2003
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 1999, 2003.
Воспроизведение всей книги или любой ее
части запрещается без письменного
разрешения издательства
Стр.3
Оглавление
Предисловие
Часть I. ФИНАНСОВЫЕ РАСЧЕТЫ В УСЛОВИЯХ
ОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Глава 1. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ДЕНЕЖНЫХ СУММ
1.1. Наращение простых процентов
1.2. Наращение сложных процентов
1.3. Сравнение силы роста простых и сложных процентов
1.4. Мультиплицирующие и дисконтирующие множители
1.5. Удержание простых и сложных процентов
1.6. Эквивалентность во времени денежных сумм.
Математическое дисконтирование
1.7. Номинальная и эффективная процентные ставки
1.8. Непрерывное наращение и дисконтирование
1.9. Влияние инфляции на ставку процента
Вопросы и задачи
Глава 2. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ, РЕНТЫ
2.1. Потоки платежей
2.2. Конечная годовая рента
2.3. Определение параметров годовой ренты
2.4. Рента конечная общая — и платежи и начисление
процентов несколько раз в году
2.5. «Âå÷íàÿ» годовая рента
2.6. Объединение и замена рент
2.7. Дюрация потоков платежей
Вопросы и задачи
Глава 3. КРЕДИТНЫЕ РАСЧЕТЫ
3.1. Погашение займа одним платежом в конце
3.2. Погашение основного долга одним платежом в конце
3.3. Погашение основного долга равными годовыми
выплатами
3.4. Погашение займа равными годовыми выплатами
3.5. Погашение займа равными выплатами несколько
раз в год
3.6. Общий метод погашения займа
3.7. Формирование погасительного фонда
по более высоким процентам
3.8. Потребительский кредит и его погашение
3.9. Льготные кредиты
3.10. Погашение традиционной ипотечной ссуды
3.11. Замена одного займа другим
3
5
7
7
8
9
10
11
13
13
14
14
15
17
17
18
20
22
23
24
24
26
30
30
30
31
31
31
32
33
33
34
35
36
233
Стр.232
3.12. Объединение займов
3.13. Предоставление в кредит активов
Вопросы и задачи
Глава 4. АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
4.1. Пример детального анализа инвестиционного проекта
4.2. Общие понятия и обозначения
4.3. Расчет характеристик конечного проекта с начальными
инвестициями и постоянными доходами
4.4. Расчет характеристик бесконечного проекта
с начальными инвестициями
4.5. Определение величины инвестиций
4.6. Расчет годового дохода для заданной внутренней
доходности проекта
4.7. Зависимость характеристик процесса от ставки процента
4.8. Сравнение инвестиционных проектов
4.9. Определение размера платы за аренду оборудования
4.10. Определение нормы доходности от сдачи оборудования
в аренду
4.11. Арендовать оборудование или покупать?
Вопросы и задачи
Глава 5. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ДОХОДНОСТИ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
5.1. Различные виды доходности операций
5.2. Текущая и полная доходность
5.3. Поток платежей и его доходность
5.4. Другие виды доходности
5.5. Мгновенная доходность
5.6. Эффективная и эквивалентная ставки процента
Вопросы и задачи
Глава 6. ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ
6.1. Общие сведения о финансовых инструментах
6.2. Курс и доходность облигации без погашения
с периодической выплатой купонных процентов
6.3. Курс и доходность бескупонной облигации с погашением
по номиналу
6.4. Курс и доходность бескупонной облигации с выплатой
купонных процентов при погашении
6.5. Курс и доходность облигации с периодической выплатой
процентов и погашением
6.6. Зависимость цены (курса) облигации от ставки процента
6.7. Цена вечной акции (доход — только дивиденды)
6.8. Банковские депозитные сертификаты
6.9. Арбитраж и характеристики финансовых инструментов
Вопросы и задачи
234
36
36
37
39
39
40
41
42
42
42
43
43
44
45
45
46
48
48
50
50
51
52
52
53
56
56
57
58
58
59
60
60
60
61
63
Стр.233
Дополнение к части I
Глава 7. СИСТЕМА ПРЕДПОЧТЕНИЙ ИНДИВИДА И УЧЕТ ЕЕ
ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
7.1. Система предпочтений индивида
7.2. Временная ценность денег для индивида
7.3. Полезность денег
Вопросы и задачи
Глава 8. МОДЕЛИ ТОРГОВ
8.1. Аукционные торги: два лица и два объекта. Общее
описание
8.2. Максимизация разности доходов
8.3. Максимизация собственного дохода
8.4. Одновременные торги
8.5. Торги, в которых число лиц велико и может быть
неизвестным
Вопросы и задачи
Часть II. ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ФИНАНСОВОЙ
МАТЕМАТИКИ
Глава 9. ИЗМЕНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ СХЕМ В УСЛОВИЯХ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
9.1. Плавающая ставка процента
9.2. Случайные потоки платежей
9.3. Рисковые инвестиционные процессы
9.4. Подсчет доходности вероятностных операций
в условиях неопределенности
9.5. Общее понятие детерминированного эквивалента
финансового показателя
Вопросы и задачи
Глава 10. КЛАССИЧЕСКАЯ СХЕМА ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
10.1. Определение и сущность риска
10.2. Матрицы последствий и рисков
10.3. Анализ связанной группы решений в условиях полной
неопределенности
10.4. Анализ связанной группы решений в условиях
частичной неопределенности
10.5. Оптимальность по Парето
10.6. Правило Лапласа равновозможности
Вопросы и задачи
Глава 11. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ФИНАНСОВЫХ
ОПЕРАЦИЙ
11.1. Количественная оценка риска
11.2. Риск отдельной операции
11.3. Некоторые общие измерители риска
11.4. Риск разорения
65
65
65
68
70
71
73
73
73
75
76
76
77
79
81
81
83
84
85
86
87
89
89
90
91
92
93
95
95
97
97
97
100
101
235
Стр.234
11.5. Показатели риска в виде отношений
11.6. Кредитный риск
11.7. Депозитный риск
Вопросы и задачи
Глава 12. ОБЩИЕ МЕТОДЫ УМЕНЬШЕНИЯ РИСКОВ
12.1. Диверсификация
12.2. Хеджирование
12.3. Страхование
12.4. Качественное управление рисками
12.5. Форвардная и фьючерсная торговля
Вопросы и задачи
Глава 13. МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ АКТИВОВ
13.1. Простейшая биномиальная модель
13.2. Биномиальная модель Кокса—Росса—Рубинштейна
13.3. Общая экспоненциальная биномиальная модель
13.4. Фундаментальный и технический анализ цен
Вопросы и задачи
Глава 14. БЫСТРЫЙ РОСТ КАПИТАЛА
14.1. Постановка задачи о росте капитала
14.2. Рост капитала при постоянной доле контрактов
14.3. Безгранично делимые и бесплатные рулетки
и ценные бумаги
14.4. Еще одна стратегия управления капиталом
Вопросы и задачи
Глава 15. ОПЦИОНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ОПЦИОНОВ
15.1. Опционы
15.2. Определение стоимости опциона на момент исполнения
15.3. Ценообразование опционов на основе биномиальной
модели
15.4. Другой подход к ценообразованию опционов
15.5. Создание с помощью опционов безрисковых портфелей
Вопросы и задачи
Глава 16. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ
16.1. Постановка задачи об оптимальном портфеле
16.2. Диверсификация портфеля
16.3. Портфель Марковица минимального риска
16.4. Портфель Тобина минимального риска
16.5. Портфель Марковица и Тобина максимальной
эффективности
Вопросы и задачи
Глава 17. Формирование оптимального портфеля
с помощью ведущего фактора финансового рынка
17.1. Прямой статистический подход
236
102
102
103
103
108
108
110
111
112
114
116
117
117
119
120
121
121
124
124
125
128
129
130
131
131
132
133
134
136
138
139
139
141
144
146
148
150
153
153
Стр.235
17.2. Влияние ведущего фактора на составляющие
финансового рынка
17.3. Эффективность рынка как ведущий фактор
17.4. Эффективность рынка, эффективность ценной бумаги
и ее «áåòà»
17.5. Другие ведущие факторы рынка
Вопросы и задачи
Глава 18. ФИНАНСОВЫЙ РЫНОК И ЕГО МОДЕЛИ
18.1. Соглашения о финансовом рынке
18.2. Эффективный рынок
18.3. Модель САРМ (Capital Asset Prising Model — модель
ценообразования капитальных активов)
18.4. Модель АРТ (Arbitrage Prising Theory — арбитражная
модель ценообразования)
18.5. Идеальный финансовый рынок
18.6. Инвесторы на идеальном финансовом рынке
Вопросы и задачи
Дополнение к части II
Глава 19. ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
19.1. Простейшие лотереи
19.2. Теория ожидаемой полезности
Вопросы и задачи
Глава 20. ОТНОШЕНИЕ ЛПР, ИНВЕСТОРА К РИСКУ
20.1. Измерение неприятия риска
20.2. Некоторые известные конкретные функции
полезности денег
20.3. Коэффициент Эрроу—Пратта неприятия риска
20.4. Коллективные решения и разделение риска
20.5. Учет отношения ЛПР к риску
Вопросы и задачи
Указания и ответы к вопросам и задачам
Указатель финансовых терминов
Библиографический список
Приложения
Приложение 1. Мультиплицирующие множители
Приложение 2. Дисконтирующие множители
Приложение 3. Коэффициенты приведения годовой ренты
Приложение 4. Коэффициенты наращения годовой ренты
154
157
160
162
162
164
164
165
166
168
168
169
171
173
173
173
175
177
179
179
181
182
184
186
187
189
194
196
197
206
215
224
237
Стр.236