Высшая математика. Этюды по теории и ее приложениям (2900,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

УДК 51 ББК 22.1 Ф91 Рецензенты: кафедра высшей математики ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский политехнический университет» (заслуженный работник высшей школы РФ, канд. техн. наук, профессор Ю. А. Хватов); кафедра криогенной техники СПБГУНиПТ (зав. кафедрой, д-р техн. наук, профессор Е. И. Борзенко) Фролов С. В. Ф91 Высшая математика : этюды по теории и её приложениям : учеб. пособие / С. В. Фролов, А. Ш. Багаутдинова. — СПб. : ГИОРД, 2012. — 616 с. ISBN 978-5-98879-149-2 Материал, сгруппированный по основным разделам математики (дифференциальное исчисление, интегралы, дифференциальные уравнения, ряды и пр.), пополнен некоторыми темами, не входящими в стандартный курс. В книге показано, как на практике работают разделы, изучаемые в курсе высшей математики. Учебное пособие способствует преодолению разрыва между материалом, излагаемым на первых курсах, и приложениями математики, с которыми студенты встречаются на последних стадиях обучения. Предлагаемое издание предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальности «Техническая физика», а также может быть использовано студентами иных естественно-научных и технических специальностей и преподавателями, ищущими красивые примеры для занятий, темы для студенческой научной работы, материал для математических кружков и т. д. УДК 51 ББК 22.1 ISBN 978-5-98879-149-2 © ООО «Издательство „ГИОРД“», 2012

Стр.2

Оглавление Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Тема 1. Устойчивость разностных схем решения задач математической физики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Тема 2. Эллиптические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Тема 3. Оптические свойства кривых второго порядка и устойчивость лазерного луча . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Тема 4. Основы проективной геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 Тема 5. Дважды линейчатые поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Тема 6. Рациональные параметризации и арифметика алгебраических кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 Тема 7. Группа единиц кольца остатков по целому модулю и асимметричная компьютерная криптография (схемы с открытым ключом) . . . . . . . . .53 Раздел 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Тема 8. Явление радуги. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Тема 9. Реальные газы и уравнение Ван-дер-Ваальса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 Тема 10. Кривая намагничивания ферромагнетиков и явление гистерезиса . . .74 Тема 11. Метод наименьших квадратов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 Тема 12. Принцип минимума свободной энергии и каноническое распределение Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Тема 13. Простейшие особенности плоских кривых (крест, изолированная точка, клюв) и их распускания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 Тема 14. Огибающие семейств кривых и их особенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 Раздел 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ . . . . . . . . . . . .98 Тема 15. Кривизна и кручение пространственной кривой. Базис Френе и формулы Френе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 Тема 16. Кривизна поверхности. Гауссова кривизна и средняя кривизна. . . . .103 Тема 17. Внутренняя геометрия поверхности. Параллельный перенос и геодезические. Локальная теорема Гаусса-Бонне. Плоскость Пуанкаре и геометрия Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 5

Стр.3

Оглавление Тема 18. Эйлерова характеристика поверхности и глобальная теорема Гаусса-Бонне. Классификация компактных двумерных поверхностей. Хроматические числа и проблема четырёх красок. . . .116 Тема 19. Непрерывные касательные векторные поля к двумерным поверхностям и теорема Пуанкаре. Теория Морса. Многообразия высших размерностей. Теорема о кобордизме и гипотеза Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 Раздел 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Тема 20. Комплексное дифференцирование, конформные отображения и гармонические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Тема 21. Дробно-линейные отображения и задача о тепловых потерях трубопровода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 Тема 22. Степенные отображения и задача о громоотводе. . . . . . . . . . . . . . . . . .142 Тема 23. Отображение Жуковского и обтекание цилиндра . . . . . . . . . . . . . . . . .144 Тема 24. Особые точки гармонических функций (источник, вихрь, диполь). Вихревые обтекания тел и подъёмная сила крыла. . . . . . . . .150 Тема 25. Комплексная диэлектрическая проницаемость и СВЧ-нагрев пищевых продуктов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 Раздел 5. МНОГОЧЛЕНЫ, КОЛЬЦА, АЛГЕБРЫ, ГРУППЫ, ПОЛЯ . . . . . . . . . . .155 Тема 26. Многочлены: результант, дискриминант, теорема Безу . . . . . . . . . . . .155 Тема 27. Арифметика мнимых квадратичных колец. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 Тема 28. Кватернионы и вращения трёхмерного пространства. Процедура Кэли-Диксона и октавы. Теоремы Гурвица и Фробениуса. История становления векторного исчисления . . . . . .171 Тема 29. Конечные некоммутативные группы. Группы перестановок и симметрий многоугольников и многогранников. Порождающие элементы, определяющие соотношения и графы групп. Разрешимые и простые группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .180 Тема 30. Римановы поверхности аналитических функций. Формула Римана-Гурвица. Группы Галуа и теорема Абеля. . . . . . . . . .196 Тема 31. Алгебраические расширения полей и построения с помощью циркуля и линейки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202 Раздел 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209 Тема 32. Кинетика простейших химических реакций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209 Тема 33. Движение в центральном поле. Резерфордовское рассеяние . . . . . . .212 Тема 34. Математический маятник и эллиптические интегралы . . . . . . . . . . . .218 Тема 35. Энергия гравитационной дифференциации Земли, мантийная конвекция и дрейф континентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227 Тема 36. Гамма- и бета-функции Эйлера, метод Лапласа и формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238 6

Стр.4

Оглавление Тема 37. Сферические координаты в n-мерном пространстве. Объём и площадь поверхности n-мерного шара . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 Тема 38. Магнитное поле контура с током, интеграл Гаусса и коэффициент зацепления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248 Раздел 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ). . . . . . . . . . . . .252 Тема 39. Барометрическая формула в поле центробежной силы и определение молекулярной массы высокомолекулярных соединений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252 Тема 40. Последовательные химические реакции и максимальный выход промежуточного продукта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253 Тема 41. Функция распределения продукта по времени пребывания в аппаратах непрерывного действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254 Тема 42. Отвод тепла при хранении плодоовощной продукции. . . . . . . . . . . . .256 Раздел 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ). . . . . . . . . . .262 Тема 43. Затухающие колебания. Линейный и нелинейный резонанс. Уравнение Дуффинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262 Тема 44. Теория флаттера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266 Тема 45. Задача Штурма-Лиувилля для радиальной части оператора Лапласа. Функции Бесселя. Приближённое решение прямым вариационным методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270 Тема 46. Нелинейные задачи на собственные значения. Задача Эйлера о потере устойчивости колонны. . . . . . . . . . . . . . . . . . .280 Тема 47. Угловая часть оператора Лапласа в полярных и сферических координатах. Многочлены и функции Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . .284 Тема 48. Уравнения с периодическими коэффициентами. Матрица монодромии и решения Флоке. Параметрический резонанс . . . . . . .291 Тема 49. Квазиклассическое приближение, туннельный эффект и альфа-распад атомных ядер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299 Раздел 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 Тема 50. Модели конкуренции и модель хищник-жертва . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 Тема 51. Модель роста и таяния ледника и глобальный климат . . . . . . . . . . . . .309 Тема 52. Ламповый генератор и уравнения Ван-дер-Поля . . . . . . . . . . . . . . . . .313 Тема 53. Анализ устойчивости предельного цикла. Задача Жуковского о виброразделении смесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318 Тема 54. Вырождение собственных частот и вековые слагаемые. Задача о рациональной компоновке автомобиля. . . . . . . . . . . . . . . . . .320 7

Стр.5

Оглавление Тема 55. Устойчивость Лагранжевых движений в ограниченной задаче трёх тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324 Тема 56. Движение в центральном поле: замкнутость траекторий, скрытая симметрия кулоновского потенциала, потенциалы Ленца и задача Максвелла о «рыбьем глазе». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .335 Раздел 10. РЯДЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342 Тема 57. Асимптотическое разложение Эйлера-Маклорена. Числа Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342 Тема 58. Распределение простых чисел. Функции Мангольда и Римана и гипотеза Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .348 Тема 59. Явление Гиббса и проблема окантовки при компьютерном сжатии изображений. Вейвлеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .356 Раздел 11. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .360 Тема 60. Кинематика движения сплошной среды. Уравнение неразрывности и метод характеристик. «Блины Зельдовича» и крупномасштабное распределение вещества во Вселенной. . . . . . .360 Тема 61. Задача остывания (нагревания) тела. Метод разделения переменных. Самосопряжённая эллиптическая краевая задача. . . . .366 Тема 62. Квазиодномерная нестационарная теплопроводность, регулярный тепловой режим и вариационный метод . . . . . . . . . . . . . .369 Тема 63. Квазиодномерная стационарная теплопроводность, тепловое сопротивление квазиодномерной стенки. . . . . . . . . . . . . . . .373 Тема 64. Процессы кристаллизации и задача Стефана. Автомодельное решение. Квазистационарное приближение и формула Планка . . . .375 Тема 65. Теплопроводность неоднородных тел. Методы неравновесной термодинамики и принцип Пригожина. Формула Эйкена . . . . . . . . .378 Раздел 12. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .387 Тема 66. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса). Задача Стокса о медленном движении шара. Парадоксы Стокса и Уайтхеда и решение Озеена . . . . . . . . . . . . . . . . .387 Тема 67. Уравнения Прандтля пограничного слоя. Решение Блаузиуса. Метод сшивания асимптотических разложений. Теплоотдача при ламинарном обтекании пластины . . . . . . . . . . . . . . .396 Тема 68. Волны на поверхности воды. Уравнение Кордевега-де-Фриза, солитоны и уединённые волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .403 Тема 69. Дислокации в кристаллах, модель Френкеля-Конторовой и уравнение синус-Гордон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411 Тема 70. Теплоотдача при стекании плёнки жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415 Тема 71. Функция распределения продукта по времени пребывания — модель «дрейф + диффузия». Условия Данкверста . . . . . . . . . . . . . . . .419 8

Стр.6

Оглавление Раздел 13. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .423 Тема 72. Уравнение Шредингера в центрально-симметричном поле. Кулоновский потенциал и вырождение уровней в атоме водорода. Потенциал гармонического осциллятора . . . . . . . . . . . . . . .423 Тема 73. Потенциалы Ленца, модель Томаса-Ферми и строение периодической системы элементов (правило Маделунга). . . . . . . . . .431 Тема 74. Вариационный метод приближённого решения задач квантовой механики. Потенциал ионизации атома гелия и двухэлектронных ионов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437 Тема 75. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Коэффициенты прохождения и отражения, туннельный эффект. Безотражательные потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .441 Тема 76. Тепловая конвекция, задача Релея и система Лоренца. . . . . . . . . . . . .445 Раздел 14. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452 Тема 77. Некоторые парадоксы элементарной теории вероятностей . . . . . . . .452 Тема 78. Ветвящиеся процессы и проблема вымирания в теории эволюции. . .462 Тема 79. Процессы случайного блуждания: вероятность возврата, связь с диффузией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .467 Тема 80. Коэффициент корреляции и анализ зависимости источников в историографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .470 Тема 81. Пространства с мерой. Парадоксы неизмеримости . . . . . . . . . . . . . . .474 Раздел 15. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .478 Тема 82. Динамические системы с инвариантной мерой. Эргодическая теорема Биркгофа и обоснование статистической механики. Теорема Пуанкаре о возвращении. Перемешивание и термодинамическая необратимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .478 Тема 83. Энтропия Колмогорова-Синая и проблема изоморфизма сдвигов Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491 Тема 84. Цепные дроби и приближения иррациональных чисел рациональными. Проблема построения календарей. Алгебраические и трансцендентные числа. Уравнение Пееля и единицы действительных квадратических колец . . . . . . . . . . . . . . . .495 Тема 85. Динамические системы, связанные с цепными дробями. Теорема Хинчина-Леви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .510 Тема 86. Отображение отрезка в себя: каскад удвоений, универсальность Фейгенбаума и ренорм-группа. . . . . . . . . . . . . . . . . .513 Тема 87. Странные аттракторы, фракталы и хаусдорфова размерность. . . . . . .518 Тема 88. Сосуществование циклов, теорема Шарковского, топологическая и ляпуновская энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .534 9

Стр.7

Оглавление Тема 89. Интегрируемые и неинтегрируемые гамильтоновы системы. Малые знаменатели и КАМ-теория. Расщепление сепаратрисс и отображение Чирикова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .550 Раздел 16. ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА . . . . . .563 Тема 90. Понятие количества информации — вероятностный подход. Формулы Хартли и Шеннона. Условная информация . . . . . . . . . . . . .563 Тема 91. Количество информации — алгоритмический подход. Частично и общерекурсивные функции, тезис Чёрча. Перечислимые и разрешимые множества. Теорема Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . .567 Тема 92. Теория Рамсея, функция Аккермана, теорема Париса-Харрингтона и неполнота арифметики . . . . . . . . . . . . . . . . . .572 Тема 93. Кодирование информации. Проблема однозначности декодирования. Неравенство Крафта. Полные коды . . . . . . . . . . . . . .578 Тема 94. Префиксные коды. Код Хаффмана. Арифметическое кодирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .580 Тема 95. Словарные алгоритмы сжатия информации. Коды Зива-Лемпела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .585 Тема 96. Блочные методы сжатия информации. Преобразование Барроуза-Уиллера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .589 Тема 97. Фрактальное сжатие изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592 Тема 98. Помехоустойчивое кодирование. Линейные коды, генерирующая и проверочная матрицы. Код Хэмминта. Плотно упакованные коды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595 Тема 99. Проблема максимума определителя, матрицы Адамара и эквидистантные коды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .600 Тема 100. Ассоциативная память. Спиновые стёкла и модель Хопфилда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .604

Стр.8