Невский ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ В ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ Ярославль 2012 УДК 517.51+514.17 ББК В151 H40 Рецензенты: кафедpа математического анализа Яpославского госудаpственного педагогического унивеpситета им. <...> Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции / Яpосл. гос. ун-т им. <...> ISBN 978-5-8397-0853-2 В монографии рассматриваются геометрические вопросы, связанные с полиномиальной интерполяцией функций многих переменных. <...> Базисные многочлены Лагранжа и геометрические характеристики n-мерного симплекса . <...> О гипотезе Лассака для выпуклого тела . <...> Редукция в задаче о минимальном проекторе . <...> Оценки констант эквивалентности для некоторых норм алгебраических многочленов . <...> Что же касается интерполяции, то здесь геометрические конструкции возникают вместе с заданием набора узлов интерполяции. <...> Для некоторых (к сожалению, весьма малочисленных) ситуаций найдено точное значение минимальной нормы интерполяционного проектора и описаны все оптимальные наборы узлов. <...> 1 (1) Здесь di(S) есть i-й осевой диаметр S, представляющий собой максимальную длину отрезка, принадлежащего S и параллельного i-й координатной оси. <...> Если Qn ⊂ S, то для некоторого i симплекс S содержит отрезок длины n, параллельный оси xi. <...> Пусть S есть симплекс максимального объёма в Qn. <...> Обозначим через P норму соответствующего интерполяционного проектора как оператора из C(Qn) в C(Qn). <...> С помощью (2) и (1) выписываются оценки для нормы проектора через осевые диаметры соответствующего симплекса. <...> При оценивании θn снизу применяются стандартизованные многочлены Лежандра Ψn. <...> Соответствующий S интерполяционный проектор P является почти-минимальным, т. е. для него P θn. <...> Пусть H есть ортогональный проектор на пространство многочленов степени ≤ 1. <...> Таким образом, в этой ситуации минимальный интерполяционный проектор асимптотически эквивалентен ортогональному проектору. <...> В главе 5 предпринята попытка обобщения некоторых отмеченных выше результатов на интерполяцию с помощью <...>
Геометрические_оценки_в_полиномиальной_интерполяции_монография.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им.П.Г. Демидова
М.В. Невский
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
В ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Ярославль 2012
Стр.1
УДК 517.51+514.17
ББК В151
H40
Рецензенты:
кафедpа математического анализа Яpославского госудаpственного
педагогического унивеpситета им. К. Д. Ушинского;
М.Л. Гольдман, д-p физ.-мат. наук, пpофессоp кафедры нелинейного
анализа и оптимизации Российского университета дружбы народов.
Монография подготовлена и издана при финансовой поддержке гранта
Правительства РФ по постановлению № 220, договор № 11.G34.31.0053.
Невский М.В. Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции
/ Яpосл. гос. ун-т им. П.Г. Демидова. Яpославль: ЯрГУ, 2012.
218 с.
ISBN 978-5-8397-0853-2
В монографии рассматриваются геометрические вопросы, связанные с
полиномиальной интерполяцией функций многих переменных. Приводятся
оценки для норм интерполяционных проекторов через геометрические
характеристики множеств и другие соотношения. Часть из них связана с
установленными автором свойствами n-мерного симплекса.
Предназначена для научных работников в области теории аппроксимации
и геометрии выпуклых тел. Может быть полезна аспирантам, магистрантам
и студентам старших курсов математических специальностей и
направлений.
Библиогp.: 68 назв.
УДК 517.51+514.17
ББК В151
ISBN 978-5-8397-0853-2
- Яpославский госудаpственный унивеpситет
им. П.Г. Демидова, 2012
c
- М.В. Невский, 2012
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Глава 1. Базисные многочлены Лагранжа
и геометрические характеристики n-мерного симплекса . . . . . . . . . . . 12
§ 1.1. Базисные многочлены n-мерного симплекса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
§ 1.2. Свойства осевых диаметров симплекса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§ 1.3. Величина ξ(C;S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§ 1.4. Величина α(C;S) и равенство α(S) =1/di(S) . . . . . . . . . . . . . 22
§ 1.5. Второе доказательство равенства α(S) =1/di(S) . . . . . . . . . . 27
§ 1.6. Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
§ 1.7. О гипотезе Лассака для выпуклого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§ 1.8. Величина β(S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Глава 2. Линейная интеpполяция на n-мерном кубе . . . . . . . . . . . .49
§ 2.1. Задача линейной интеpполяции на Qn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 2.2. Соотношение между P и ξ(S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§ 2.3. Редукция в задаче о минимальном проекторе . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 2.4. Точные значения θn и ξn для n = 1, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
§ 2.5. Точные значения θ3 и ξ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
Глава 3. Соотношения θn n1/2 и ξn n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
§ 3.1. Симплексы максимального объёма в Qn и оценки для νn . . . . .71
§ 3.2. Соотношение ξn n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
§ 3.3. Многочлены Лежандра и мера множества Eγ . . . . . . . . . . . . . . . . 82
§ 3.4. Неpавенство θn ≥ cn1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
§ 3.5. Веpхние оценки P в случае vol(S) = νn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
§ 3.6. Соотношение θn n1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
§ 3.7. О выполнении равенства ξn = n+1
2 (θn −1)+1 . . . . . . . . . . . . . . 100
3
Стр.3
§ 3.8. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
§ 3.9. Улучшение оценок θn для конкретных n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
§ 3.10. Откpытые вопpосы и замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Глава 4. Минимальная линейная интерполяция
и ортогональное проектирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
§ 4.1. Норма ортогонального проектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
§ 4.2. Эйлеровы числа, B-сплайны, слои и сечения куба . . . . . . . . . . .121
§ 4.3. Оценки H через эйлеровы числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
§ 4.4. Соотношение H θn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
§ 4.5. Вычисление H с помощью однократного интеграла . . . . . . . 139
§ 4.6. О некоторых свойствах центрального сечения Qn . . . . . . . . . . .146
Глава 5. Полиномиальная интерполяция общего вида . . . . . . . . . 151
§ 5.1. Интерполяция функций из C(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
§ 5.2. Оценки нормы проектора P : C(Ω)→Π1 (Rn) . . . . . . . . . . . . . . .154
§ 5.3. Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
§ 5.4. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
§ 5.5. Оценки нормы проектора через осевые диаметры . . . . . . . . . . . 167
§ 5.6. Интерполяция с помощью пространства Xn . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Глава 6. Оценки констант эквивалентности
для некоторых норм алгебраических многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . 177
§ 6.1. Эквивалентные нормы на пространствах многочленов . . . . . . . 178
§ 6.2. Точные значения δ(1, k) и оценки γ(1, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
§ 6.3. Точные значения δ(n,α) и оценки γ(n,α), δ(n, k), γ(n, k) . . . 185
§ 6.4. Точные значения γ(n, 1), δ(n, 1) и оценки γ(n, 2), δ(n, 2) . . . . 189
§ 6.5. Оценки констант через собственные значения . . . . . . . . . . . . . . .193
§ 6.6. Оценки констант ηn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212
4
Стр.4