Секреты интересных интегралов (с введением в контурное интегрирование) (4000,00 руб.)

Стр.5

Стр.10

Стр.11

УДК 517.37 ББК 22.161 Н12 Н12 Секреты интересных интегралов / пер. с анг. Н. К. Смоленцева. – М.: ДМК Пресс, 2020. – 428 с.: ил. Нахин П. Дж. ISBN 978-5-97060-763-3 В книге приведена целая коллекция из почти 200 запутанных определенных интегралов из физики, техники и математики, а также 60 задач с полными решениями. Если вам что­то говорят имена Римана, Бернулли, Эйлера, Френеля, Дирихле, Фурье, Коши, Фейнмана — эта книга точно для вас. Издание доставит истинное удовольствие математикам, физикам, думающим студентам, а также всем читателям, кто еще только планирует стать великим учёным! УДК 517.37 ББК 22.161 Authorized Russian translation of the English edition of Inside Interesting Integrals ISBN 9781493912773 © 2015 Springer Science+Business Media New York. This translation is published and sold by permission of Packt Publishing, which owns or controls all rights to publish and sell the same. Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав. ISBN 978­1­4939­1277­3 (анг.) ISBN 978­5­97060­763­3 (рус.) © 2015 Springer Science+Business Media New York © Оформление, издание, перевод, ДМК Пресс, 2020

Стр.5

Содержание Вступительное слово от издательства ..................................................................... 11 Предисловие .................................................................................................................... 12 Глава 1. Введение ........................................................................................................... 22 1.1. Интеграл Римана .......................................................................................................... 22 1.2. Примеры риманова интегрирования ......................................................................... 26 1.3. Интеграл Лебега ........................................................................................................... 28 1.4. «Интересно» и «секреты» ............................................................................................. 31 1.5. Некоторые примеры трюков ....................................................................................... 33 1.6. Особенности ................................................................................................................. 38 1.7. Интеграл Далцелла ....................................................................................................... 43 1.8. Откуда берутся интегралы .......................................................................................... 46 1.9. Заключительные слова ................................................................................................ 60 1.10. Задачи для упражнений ............................................................................................. 61 Глава 2. «Легкие» интегралы ....................................................................................... 64 2.1. Шесть «легких» для разминки ..................................................................................... 64 2.2. Новый прием ................................................................................................................ 68 2.3. Два старых трюка, плюс один новый .......................................................................... 75 2.4. Еще один старый прием. Лог­синус Эйлера ............................................................... 84 2.5. Задачи для упражнений ............................................................................................... 90 Глава 3. Любимый трюк Фейнмана ........................................................................... 92 3.1. Формула Лейбница....................................................................................................... 92 3.2. Удивительный интеграл .............................................................................................101 3.3. Интеграл Фруллани .....................................................................................................103 3.4. Обратная сторона трюка Фейнмана ..........................................................................106 3.5. Сочетание двух приемов ............................................................................................115 3.6. Интеграл Улера и символьное интегрирование .......................................................118 3.7. Интеграл вероятности, новый взгляд ........................................................................122 3.8. Интеграл Дини ............................................................................................................125 3.9. Любимый прием Фейнмана решает физическое уравнение ...................................128 3.10. Задачи и упражнения ................................................................................................130 Глава 4. Гамма- и бета-функции ................................................................................134 4.1. Гамма­функция Эйлера ..............................................................................................134 4.2. Интеграл Валлиса и бета­функция ............................................................................136 4.3. Перестановка порядка интегрирования в двойном интеграле ...............................147 4.4. Гамма­функция встречает физику .............................................................................158 4.5. Задачи для решения ....................................................................................................161 Глава 5. Использование степенных рядов для нахождения интегралов .....164 5.1. Число Каталана ............................................................................................................164 5.2. Степенные ряды для логарифмической функции ....................................................168

Стр.10

10  Содержание 5.3. Интегралы дзета­функции .........................................................................................176 5.4. Константа Эйлера и связанные с ней интегралы......................................................181 5.5. Задачи и упражнения .................................................................................................195 Глава 6. Семь сложных интегралов .........................................................................199 6.1. Интеграл Бернулли .....................................................................................................199 6.2. Интеграл Ахмеда .........................................................................................................201 6.3. Интеграл Коксетера ....................................................................................................205 6.4. Оптический интеграл Харди–Шустера .....................................................................212 6.5. Тройные интегралы Уотсона/Ван Пейпа ...................................................................217 6.6. Эллиптические интегралы в физической задаче .....................................................223 6.7. Задачи и упражнения ..................................................................................................229 Глава 7. Использование –1 для нахождения интегралов .............................235 7.1. Формула Эйлера ..........................................................................................................235 7.2. Интегралы Френеля .....................................................................................................236 7.3. ζ(3) и снова интегралы лог­синуса .............................................................................240 7.4. ζ(2), наконец! ................................................................................................................245 7.5. Опять интеграл вероятности ......................................................................................248 7.6. За пределами интеграла Дирихле ..............................................................................250 7.7. Дирихле встречает гамма­функцию ..........................................................................256 7.8. Преобразования Фурье и интегралы энергии ..........................................................259 7.9. «Странные» интегралы из радиотехники .................................................................265 7.10. Причинность и интегралы преобразования Гильберта .........................................275 7.11. Задачи и упражнения ................................................................................................283 Глава 8. Контурное интегрирование ........................................................................287 8.1. Вступление ..................................................................................................................287 8.2. Криволинейные интегралы ........................................................................................287 8.3. Функции комплексной переменной ..........................................................................290 8.4. Уравнения Коши–Римана и аналитические функции .............................................296 8.5. Интегральная теорема Грина .....................................................................................300 8.6. Первая интегральная теорема Коши .........................................................................303 8.7. Вторая интегральная теорема Коши ..........................................................................316 8.8. Особенности и теорема о вычетах .............................................................................330 8.9. Интегралы с многозначными подынтегральными функциями ..............................338 8.10. Задачи и упражнения ...............................................................................................346 Глава 9. Эпилог ..............................................................................................................349 9.1. Риман, простые числа и дзета­функция ...................................................................349 9.2. Вывод функционального уравнения для ζ(s) ............................................................359 9.3. Вопросы для упражнений ...........................................................................................372 Решения задач и упражнений ...................................................................................375 Предметный указатель ................................................................................................426

Стр.11