Аксиоматическое определение множества вещественных чисел (1540,00 руб.)

Стр.2

Стр.226

Стр.227

УДК 510.22+510.63+512.5+515.12+517.13 ББК 22.1 О-65 Р е ц е н з е н ты: д-р физ.-мат. наук, проф. М. А. Нарбут (С.-Петерб. гос. ун-т), д-р физ.-мат. наук, проф. А. Ю.Вальков (С.-Петерб. гос. торг.экон. ун-т) факультета прикладнойматематики —процессов управления С.-Петербургского государственного университета Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета О-65 Орехов А. В. Аксиоматическое определение множества вещественных чисел: учеб. пособие / изд. 2-е испр. и доп. —СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2014.— 228 с. ISBN 978-5-288-05579-9 Учебное пособие (1-е издание —изд-во «ВВМ», 2013) посвящено решению двух задач: во-первых, дать логически обоснованное аксиоматическое определение множества вещественных чисел и, во-вторых, изучить уникальные свойства этого множества. По содержанию пособие отличается от традиционного введения в математический анализ. Значительная его часть посвящена бинарным отношениям и алгебраическим методам расширения числовых множеств. На элементарном уровне изложены понятия, связанные с измеримостью множеств, а также основные положения общей топологии и топологии метрических пространств. Подробно, с большим количеством примеров, изложена теория пределов числовых последовательностей. Рассмотрены свойства множества вещественных чисел, связанные с его полнотой и сепарабельностью. Книга предназначена для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика». Библиогр. 18 назв. Ил. 21. Табл. 7. ББК 22.1 c А. В. Орехов, 2014 ISBN 978-5-288-05579-9 c С.-Петербургский государственный университет, 2014

Стр.2

ОГЛАВЛЕНИЕ Ââåäåíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Глава 1. Основные математические ïîíÿòèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ÿ 1. Элементы теории ìíîæåñòâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ÿ 2. Логические операции и законы математической ëîãèêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ÿ 3. Бинарные отношения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ÿ 4. Упорядоченные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Ÿ 5. Отображение, гомоморфизм, изоморфизм . . . . . . . . . . . . . . 46 Глава 2. Алгебраическое расширение числовых ìíîæåñòâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Ÿ 6. Натуральные ÷èñëà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Ÿ 7. Конечные и счетные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ÿ 8. Кольцо целых ÷èñåë. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Ÿ 9. Поле частных, рациональные числа, периодические десятичные äðîáè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Ÿ10. Простейшие задачи комбинаторики: перестановки, размещения и сочетания, бином Íüþòîíà. . . . . . . . . . . . . . . 110 Глава 3. Вещественные ÷èñëà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Ÿ11. Определение множества вещественных чисел . . . . . . . . . . . 117 Ÿ12. Алгебраические и трансцендентные числа . . . . . . . . . . . . . . 131 Ÿ13. Замечание о ¾ïðèíöèïå Àðõèìåäà¿. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Ÿ14. Окрестности и предельные òî÷êè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Ÿ15. Свойства множества вещественных чисел, следующие из аксиомы ïîëíîòû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Ÿ16. Метрическая топология на вещественной оси, борелевские множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Глава 4. Предельный переход на множестве вещественных ÷èñåë. . . . . . . . . . . . . . 160 Ÿ17. Числовые последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 226

Стр.226

Ÿ18. Теория ïðåäåëîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Ÿ19. Представление вещественных чисел бесконечными десятичными äðîáÿìè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Ÿ20. Полнота, плотность и сепарабельность множества вещественных ÷èñåë. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Ÿ21. Число e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Ÿ22. Вещественный показатель степени, показательная и логарифмическая ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . 205 Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 227

Стр.227