Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 525275)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.

Введение в математическую теорию оптимального управления (330,00 руб.)

0   0
Первый авторМатвеев А. С.
ИздательствоСПб.: Изд-во С.‑Петерб. ун-та
Страниц194
ID693150
АннотацияЦель данного учебника - ознакомить читателя с математической теорией оптимального управления, её связями с другими разделами теории экстремальных задач, спецификой типичных математических задач оптимального управления и вытекающих из неё проблем, а также с основными положениями и базовыми подходами этой теории и их применением к решению конкретных задач. В изложении материала упор сделан на подходе, основанном на применении функционального анализа, который был разработан и развит санкт-петербургской (ленинградской) школой математической кибернетики, созданной профессором СПбГУ В.А. Якубовичем, позволяющем не только рассматривать с единой точки зрения экстремальные задачи разных типов, но и унифицировать необходимые условия экстремума первого и более высокого порядка. В основу учебника положен материал курса лекций, читаемых автором на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета.
Кому рекомендованоПредназначен для студентов и аспирантов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика» и на смежных с ним специальностях.
ISBN978-5-288-05809-7
УДК519.71
ББК22.18я7
Матвеев, А.С. Введение в математическую теорию оптимального управления [Электронный ресурс] : учебник / А.С. Матвеев .— СПб. : Изд-во С.‑Петерб. ун-та, 2018 .— 194 с. — ISBN 978-5-288-05809-7 .— Режим доступа: https://rucont.ru/efd/693150

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Введение_в_математическую_теорию_оптимального_управления.pdf
УДК 519.71 БКК 32.81я7 М33 Ре ц е н з е н ты: д-р физ.-мат. наук проф. В. Б. Смирнова (С.-Петербургский гос. архитектурно-строительный ун-т) д-р физ.–мат. наук доц. Н. В. Кузнецов (С.-Петербургский гос. ун-т) Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета М33 Матвеев А. С. Введение в математическую теорию оптимального управления: Учебник. —СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2018. — 194 с. ISBN 978-5-288-05809-7 Цель данного учебника— ознакомить читателя с математической теорией оптимального управления, её связями с другими разделами теории экстремальных задач, спецификой типичных математических задач оптимального управления и вытекающих из неё проблем, а также с основными положениями и базовыми подходами этой теории и их применением к решению конкретных задач. В изложении материала упор сделан на подходе, основанном на применении функционального анализа, который был разработан и развит санкт-петербургской (ленинградской) школой математической кибернетики, созданной профессором СПбГУ В. А. Якубовичем, позволяющем не только рассматривать с единой точки зрения экстремальные задачи разных типов, но и унифицировать необходимые условия экстремума первого и более высокого порядка. В основу учебника положен материал курса лекций, читаемых автором на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета. Предназначен для студентов и аспирантов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика» и на смежных с ним специальностях. УДК 519.71 ББК 32.81я7 -c Санкт-Петербургский государственный университет, 2018 ISBN 978-5-288–05809-7 -c А. С.Матвеев, 2018
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ Используемые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Некоторые используемые понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Глава 1. Классические экстремальные задачи и задачи оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1. Классические экстремальные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.1. Условие Ферма в гладкой задаче безусловной оптимизации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — 1.1.2. Правило множителей Лагранжа в гладкой задаче математического программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.3. Задачи выпуклого и линейного программирования. Усиленный принцип оптимальностиЛагранжа. Теорема двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1.4. Задачи вариационного исчисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1.5. Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.1.6. Каноническая форма уравнения Эйлера. Преобразование Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1.7. Гладкость экстремалей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.1.8. Условие Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — 1.1.9. Условие Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — 1.1.10. Условие Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.1.11. Вычисление сопряжённых точек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.1.12. Глобальные условия Лежандра и Якоби как достаточные условия глобального экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.2. Простейший пример задачи оптимального управления и её решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.2.1. Постановка задачи об оптимальном успокоении гармонического осциллятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — 1.2.2. Решение задачи об оптимальном успокоении гармонического осциллятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3. Классический метод вариаций и задачи оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.3.1. Классический метод вариаций вывода необходимых условий оптимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . —
Стр.3
4 Оглавление 1.3.2. Пример общей постановки задачи оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.3.3. Классический метод вариаций и задачи оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Глава 2. Метод пучков (неклассических вариаций) вывода необходимых условий оптимальности . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.1. Основные определения, идеи и факты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — 2.1.1. Пучки кривых: основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — 2.1.2. Простейшие необходимые условия оптимальности, связанные с пучками кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2. Примеры пучков и связанных с ними необходимых условий оптимальности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.1. Пучок классических вариаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — 2.2.2. Пучок анизотропных вариаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2.3. Стандартное пространство управлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.2.4. Пучок простых игольчатых вариаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.2.5. Дифференцирование интегрального функционала по пучку простых игольчатых вариаций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.2.6. Необходимые условия экстремума в задаче минимизации интегрального функционала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.2.7. Пучок сложных игольчатых вариаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.2.8. Выпуклое дифференцирование интегрального функционала по пучку сложных игольчатых вариаций . . . . . . . . . . 89 2.2.9. Необходимые условия экстремума в задаче минимизации интегрального функционала при интегральных ограничениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Глава 3. Абстрактная теория оптимального управления. . . . . . . . . . . 93 3.1. Постановка абстрактной задачи оптимального управления . . . . 94 3.2. Задачи без дополнительных ограничений. План вывода условий оптимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.3. Теорема о неявной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4. Разложение и дифференцирование по пучку сложной функции 103 3.5. Необходимые условия оптимальности в абстрактной задаче оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Глава 4. Принцип максимума Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.1. Задача оптимального управления с фиксированным интервалом времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — 4.1.1. Формализация задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.1.2. Проверка условий теоремы 3.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.1.3. Расшифровка заключения абстрактной теоремы и формулировка принципа максимума Понтрягина . . . . . . . . . . . 125 4.1.4. Завершение доказательства принципа максимума: случай неограниченного множества допустимых управлений . . . 130
Стр.4
Оглавление 5 4.2. Принцип максимума для задачи оптимального управления с нефиксированным интервалом времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — 4.2.2. Принцип максимума Понтрягина для задачи с нефиксированным временем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.2.3. О применении принципа максимума для решения задач оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.2.4. Принцип максимума Понтрягина для задачи с фиксированным временем как частный случай теоремы 4.2.1 . . . 142 4.2.5. Принцип максимума Понтрягина для задачи с фиксированным временем и фиксированным начальным и конечным состоянием. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.2.6. Замечания о локальном экстремуме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.3. Принцип максимума и вариационое исчисление . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.3.1. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления и её сведение к задаче оптимального управления. . . — 4.3.2. Принцип максимума для задачи вариационного исчисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.4. Пример применения принципа максимума: оптимальное по быстродействию успокоение гармонического осциллятора . . . . . 154 4.4.1. Постановка задачи об оптимальном успокоении гармонического осциллятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — 4.4.2. Выписывание принципа максимума для рассматриваемой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.4.3. Предварительный анализ принципа максимума . . . . . . . . . 157 4.4.4. Выводы из принципа максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.4.5. Коленчатое управление, приводящее осциллятор в состояние покоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.4.6. Oптимальный закон управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.4.7. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.5. Принцип максимума для задачи оптимального управления системой, описываемой интегральным уравнением . . . . . . . . . . . . . . . — 4.5.1. Формализация задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.5.2. Проверка условий теоремы 3.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.5.3. Расшифровка заключения абстрактной теоремы и формулировка аналога принципа максимума Понтрягина . . 181 4.6. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Список иллюстраций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Стр.5

Облако ключевых слов *


* - вычисляется автоматически