МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕХАНИКА
Часть 4
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Практикум
Составители:
Е.С. Рембеза,
В.И. Кукуев
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2016
1
Стр.1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
М-4.1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: экспериментальное определение моментов инерции некоторых
твердых тел относительно оси, проходящей через центр масс. Проверка
теоремы Гюйгенкса-Штейнера.
Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, набор тел, секундомер,
осветитель.
ВВЕДЕНИЕ
Моментом инерции I материальной точки относительно некоторой
оси называется физическая величина, равная произведению массы m этой
точки на квадрат расстояния r до этой оси
2
для системы n материальных точек
I
для сплошного твердого тела
I rdm r dV
22
,
где dm = ρdV – масса элементарного участка тела, dV – объем этого участка,
ρ – плотность в данной точке тела, r – расстояние участка до рассматриваемой
оси. Интегрирование ведется по всей массе или по всему объему тела.
Аналитическое выражение таких интегралов возможно только в простейших
случаях тел правильной геометрической формы. В более сложных случаях
интегралы могут быть рассчитаны численными методами. Наиболее
просто вычисляются моменты инерции симметричных тел относительно
оси симметрии, проходящей через центр масс.
Рассмотрим пример вычисления момента инерции тонкого однородного
стержня относительно оси вращения, перпендикулярной продольной
оси данного стержня (рис. 1).
Пусть длина стержня равна l, а площадь поперечного сечения – S. Ось
вращения проходит на расстоянии l1 от одного конца стержня и на расстоянии
l2 от другого. Очевидно, что l1 + l2 = l. Вырежем мысленно в стержне
перпендикулярно его продольной оси диск толщиной dr на расстоянии r от
оси вращения. Масса этого диска будет dm. Тогда по определению элементарный
момент инерции диска равен:
22 2
3
dI r dm r dV r Sdr
,
n
i1
I mr ;
mr ;
2
ii
Стр.3
mgh I
2
1
2
Из (1) находим ω0 :
0
d
то есть
t
dt T T
при
22
cos max
co 2s
0 ,
(2)
где ω0 – максимальное значение угловой скорости
,
T
00
Подставляя (3) в (2), получим
mg 2h
T
2
NM. При колебаниях платформы длина нитей
22
0
I .
lx x 21 2y y1 z2 z1
(4)
Высоту h можно найти из условия нерастяжимости нитей АВ, СD и
22 2
(5)
не изменяется. Для выражения длины нити удобно связать прямоугольную
систему координат с неподвижным диском, поместив начало координат в
центр диска О и направив ось Х вдоль радиуса ОА, ось Z – вдоль оси вращения
вниз, ось Y – перпендикулярно к ним. Тогда для нити АВ координаты
точки А, которые в процессе колебаний не изменяются, равны: xА = r,
yА = 0, zА = 0. Координаты точки В в положении равновесия имеют значения
xВ
(0) = R, yВ
наты точки В будут: xВ = R cos φ0, yВ = R sin φ0, zВ = l - h.
Запишем условие постоянства длины нити АВ:
zB zB zA
(0) 22 (0)
x xy y
22
BA B A
z
2
A
Rr R sin
B
A
Подставляя значения координат, имеем
21 cos
2
или
откуда 0
21 cos
h
Rr
lh
Rrl h h ,
0
h
При малых углах 00
sin 22
, а h << 2l, поэтому
4sin
2
Rr
h Rr
6
.
2l
2
0
lh
(6)
2 0
2 .
Раскрыв скобки и приведя подобные, получаем
cos l l
2
00 R r .
2
22 2
22
h
x xy y
(0)
B
A
При повороте нижней платформы на максимальный угол φ0 коорди(0)
= 0, zВ
.
2
(0) = l.
t 1
2
T
.
(3)
d .dt
Стр.6
мента инерции:
Подставляя (6) в (4), получим рабочую формулу для вычисления моI
mgRr Tl
2
4
2
.
(7)
Следует учесть, что m – масса платформы и тела, которое на ней лежит,
то есть m = mпл + mт, I – момент инерции платформы с телом. Используя
свойство аддитивности момента инерции, можно определить момент
инерции тела, измерив предварительно момент инерции ненагруженной
платформы:
I II ,тпл
mgRr
исследуемого тела должна быть найдена по формуле
22
II Iпл+т
,
Из формул (8) и (9) следует, что погрешность ΔIт момента инерции
тпл
ITl пл
пл
4
2
(10)
где погрешность ΔIпл+т момента инерции системы платформа-тело вычисляется
следующим образом:
EI
пл mm+т
пл
пл
mm Rr l
Rr l
22
2
т
IE I
пл+тпл+тпл+т
I
т
22
.
мы, очевидно, следует в формулах (11) положить mт = 0 и Δmт = 0.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
2
2,
T
T
(11)
Для вычисления погрешности ΔIпл момента инерции пустой платфор2
пл
.
2
(8)
(9)
Задание 1. Определить момент инерции ненагруженной платформы.
1. Привести платформу во вращательное движение, для этого плавно
натянуть шнур, расположенный слева от установки, и резко его отпустить.
Колебания должны быть такими, чтобы смещение светового зайчика не
превышало 40–50 см в обе стороны шкалы.
2. Измерить время 30–50 полных колебаний. Опыт повторить 5 раз.
Вычислить среднее время колебаний t .
3. По среднему значению времени вычислить период колебаний
T .t
n
4. По формуле (9) вычислить момент инерции платформы.
7
Стр.7
5. Вычислить погрешность измерения момента инерции.
Задание 2. Определить момент инерции кольца
(или другого тела по указанию преподавателя)
относительно оси симметрии
1. На платформу трифилярного подвеса положить кольцо так, чтобы
центр кольца совпал с центром масс платформы. Для этого воспользоваться
концентрическими окружностями, нанесенными на платформе, центр которых
совпадает с центром масс платформы.
2. Повторить действия согласно пунктам задания 1 для нагруженной
платформы. При этом момент инерции нагруженной платформы вычисляется
по формуле (7), где m = mпл + mк , а момент инерции кольца по формуле (8).
Задание 3. Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера
1. Определить момент инерции стержня Iст относительно оси, проходящей
через его центр масс перпендикулярно продольной геометрической
оси. Для этого положить стержень на платформу так, чтобы его центр масс
совпал с центром масс платформы, используя концентрические окружности,
нанесенные на платформе.
2. Повторить действия согласно заданию 2 и вычислить момент инерции
Iст стержня и погрешность ΔIст его измерения, используя соответственно
формулы (8), (10), (11), в которых mт = mст.
3. Определить момент инерции Iа стержня относительно оси, находящейся
на расстоянии а от центра масс стержня. Для этого на платформу
трифилярного подвеса положить 2 одинаковых стержня, для которых уже
определен Iст, симметрично относительно центра масс платформы на расстоянии
2а друг от друга (расстояние между центрами масс стержней измеряется
линейкой так, чтобы она проходила через центр масс платформы),
2а = 15–20 см (по указанию преподавателя).
4. Повторить действия согласно пунктам задания 2 и вычислить момент
инерции двух стержней относительно оси вращения платформы по
формуле
Im m T Iпл
4
расстоянии а от оси вращения:
5. Вычислить момент инерции Iа одного стержня, находящегося на
2ст . Рассчитать погрешность ΔIа.
2стl
пл
Rrg
6. Вычислить погрешность суммы I0 + ma2. Представить отдельно ле1
II2а
вую
и правую части проверяемого равенства Iа = I0 + ma2 с указанием их погрешностей.
Если указанные доверительные интервалы пересекаются, то
8
2 2
2 ст
.
Стр.8
справедливость теоремы Гюйгенса-Штейнера подтверждена экспериментально.
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
ния.
1. Физический смысл момента инерции тела относительно оси враще2.
Методы вычисления момента инерции твердого тела. Вычислить
момент инерции диска (цилиндра) относительно его продольной геометрической
оси.
3. Какие физические законы применяются при выводе рабочей формулы
для определения момента инерции? Объяснить возможность их применения.
4.
Доказать теорему Гюйгенса-Штейнера. Как проверить ее экспериментально?
5.
Объяснить формулы для вычисления погрешностей косвенных измерений.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Сивухин Д.В. Общий курс физики / Д.В. Сивухин. – М. : Физматлит,
2005. – Т. 1. – 559 с.
2. Савельев И.В. Курс физики / И.В. Савельев. – СПб. : Лань, 2004. –
Т. 1. – 432 с.
3. Стрелков С.П. Общий курс физики. Механика / С.П. Стрелков. –
М. : Наука, 1975. – 560 с.
4. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности / А.Н. Матвеев. –
М. : Мир и образование, 2003. – 432 с.
5. Айзерман М.А. Классическая механика / М.А. Айзерман. – М. :
Наука, 1980. – С. 168–173.
6. Каленков С.Г. Практикум по физике. Механика : учеб. пособие /
С.Г. Каленков, Г.И. Соломахо. – М., 1990. – С. 95–102.
7. Физический практикум. Механика и молекулярная физика / под
ред. В.И. Ивероновой. – М. : 1967. – 352 с.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
М-4.2
ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА
Цель работы: экспериментальная проверка основного уравнения динамики
вращательного движений твердого тела.
9
Стр.9
ВВЕДЕНИЕ
Совокупностью поступательного и вращательного движений можно
описать любое сложное движение твердого тела.
При поступательном движении все точки твердого тела движутся с
одинаковыми скоростями и ускорениями. В каждом теле существует такая
точка, что при описании движения всю массу тела m можно считать сосредоточенной
в этой точке, а все внешние силы – приложенными к ней. Данная
точка называется центром масс или центром инерции.
Поступательное движение твердого тела обычно рассматривается как
движение материальной точки массой m, находящейся в центре инерции.
Вращательное движение твердого тела можно рассматривать как
вращение в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции.
Одной
из основных характеристик движения является момент импульса.
Рассмотрим движение частицы, положение которой характеризуется
радиусом-вектором r относительно произвольной точки О выбранной
системы отсчета в некоторый момент времени (рис. 1). Импульс частицы в
данный момент времени pm v
.
Рис. 1. Момент импульса частицы
относительно точки
вектор L , равный векторному произведению векторов r и p :
Моментом импульса частицы А относительно точки О называется
Lr ,. p
(1)
r и p , и образует с ними правую тройку векторов. Это значит, что если
вектор r вращать в направлении, указанном вектором p , то вектор L
жен совпадать с направлением поступательного движения правого винта.
Модуль вектора момента импульса равен
Lr sin
где l = r·sinα – плечо вектора p относительно точки О.
10
p l
p ,
дол(2)
Вектор
L перпендикулярен плоскости, в которой находятся векторы
Стр.10