Таким образом, мы разложили gpq в произведение a·b, что и требовалось. <...> Доказательство леммы 4.11 Доказательство использует комбинаторный результат леммы A. <...> 3 и алгебраическую “лемму об аннуляторе” из работы Фана, Ма и Ванга [33]. <...> Напомним, что аннулятор элемента r кольца R определяется формулой AnnR(r) = {s ∈ R: rs = 0}. <...> Пусть P – трёхмерный многогранник из класса Погорелова P с двойственным симплициальным комплексом K = KP . <...> В обозначениях леммы 4.11 рассмотрим k-линейную комбинацию элементов множества T (P): rij[uivj], ∈K в которой по меньщей мере два коэффициента rij ∈ k не равны нулю. <...> Тогда для каждой пары {k, l} такой, что rkl = 0, имеем dimAnnR[ukvl] > dimAnnR α. <...> ПАК Выберем дополнительное подпространство Lkl к AnnR[ukvl] в R, т. е. Lkl ⊕AnnR[ukvl] = R. <...> Более того, пространство Lkl можно выбрать согласованно с мультиградуировкой, так что I-я мультиградуированная компонента пространства Lkl является дополнительным подпространством к AnnR[ukvl]∩ H∗(PI, ∂PI) в β = I⊂[m]\{k,l} H∗(PI, ∂PI). <...> Тогда мы можем записать βI, где βI обозначает I-ю мультиградуированную компоненту элемента β ∈ Lkl \ {0}. <...> Мы утверждаем, что (I ∪ {k, l})-я мультиградуированная компонента произведения β · α состоит только из βI · [ukvl]. <...> Следовательно, Lkl ∩AnnR α = {0}, что означает, что dimAnnR[ukvl] dimAnnR α. <...> Чтобы убедиться, что выполнено строгое неравенство, мы найдём такой элемент ξ ∈ AnnR[ukvl], что (Lkl ⊕ξ) ∩AnnR α = {0}. <...> Теперь заметим, что C \ {s, t} есть полный подкомплекс в KP , и возьмём ∈ C и вершина l не соединена ребром ни с одной в качестве ξ класс когомологий из R = H∗(ZP ), задаваемый образующей группы (см. пример 2.23). <...> С другой стороны, произведение ξ · [usvt] соответствует образующей группы H1(C) ∼ = Z. нии (D. <...> Отсюда получаем , I′ = I, элемента β и любого слагаемого rij[uivj] в разложе КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ЖЁСТКОСТЬ МНОГООБРАЗИЙ 61 Следовательно, ξ ∈ AnnR[ukvl] и ξ ·α = 0 (последнее соотношение имеет место, так как мультиградуированная компонента произведения <...>