Математические заметки Том 101 выпуск 4 апрель 2017 УДК 517.5 О некоторых локальных свойствах пространственных обобщенных квазиизометрий Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов Получена оценка сверху для меры образашара в некотором классе отображений, являющихся обобщением пространственных квазиизометрий с ветвлением. <...> Как следствие, для указанных отображений получен аналог классической леммы Шварца при некотором дополнительном ограничении интегрального характера. <...> Полученные результаты имеют соответствующие приложения в классах Соболева и Орлича–Соболева. <...> Ключевые слова: отображения с ограниченным и конечным искажением, локальное поведение отображений, равностепенная непрерывность, оценки искажения расстояния. <...> Напомним, что кривой γ мы называем непрерывное отображение отрезка [a, b] (открытого либо полуоткрытого интервала одного из следующих видов: (a, b), [a, b), (a, b]) в Rn, γ : [a, b] → Rn. <...> Борелева функция ρ: Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства Γ кривых γ в Rn, если γ ρ(x) |dx| 1 Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов, 2017 c 594 О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ 595 для всех кривых γ ∈ Γ. <...> Пусть p 1, тогда p-модулем семейства кривых Γ называется величина Mp(Γ) = inf ρ∈admΓ D Как известно, в основу геометрического определения квазиконформных отображений f : D →Rn, n 2, может быть положено неравенство Mn(f(Γ)) KMn(Γ), (1.2) которое должно выполняться для произвольного семейства Γ кривых γ в области D (см., например, [1; гл. <...> Отметим, что неравенство (1.3) соответствует условию (1.2) при p = n и Q(x) K, а при Q K и произвольном p – неравенству Mp(f(Γ)) KMp(Γ), (1.5) выполненному для произвольного семейства Γ кривых γ в области D. <...> Целью настоящей заметки является установление некоторых локальных свойств отображений, удовлетворяющих соотношению (1.3) и имеющих важные приложения к классам Соболева и Орлича–Соболева (см. <...> Здесь нас интересует главным образом случай неограниченных Q, поскольку соответствующие исследования “ограниченного” случая <...>