1 (433) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК В МОСКОВСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ СООБЩЕНИЯ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА Рефлективные анизотропные гиперболические решетки ранга 4 Н.В. Богачев 1. <...> Гиперболической решеткой называется свободная абелева группа L, снабженная невырожденной целочисленной симметрической билинейной формой (называемой скалярным умножением) сигнатуры (n, 1). <...> Решетка L называется изотропной, если соответствующая квадратичная форма представляет нуль, и анизотропной в противном случае. <...> Мы будем считать ее вложенной в пространство Минковского En,1 = L ⊗ R и рассматривать одну из связных компонент гиперболоида {x ∈ En,1: (x,x) = −1} (1) как модель n-мерного пространства Лобачевского Ln. <...> Примитивный вектор e решетки L называется корнем или, более точно, k-корнем, если (e, e) = k > 0 и 2(e,x) ∈ kZ для всех x ∈ L. <...> ) Всякий корень e определяет ортогональное отражение Re : x → x − (2(e,x)/(e, e))e (называемое k-отражением, если (e, e) = k) в пространстве En,1, которое сохраняет решетку L и определяет отражение относительно гиперплоскости He = {x ∈ Ln: (x, e) = 0} пространства Ln. <...> Известно, что группа O′(L) автоморфизмов решетки L, не меняющих местами связные компоненты гиперболоида (1), дискретно действует на пространстве Лобачевского и ее фундаментальный многогранник имеет конечный объем. <...> Кроме того, фундаментальный многогранник группы O′(L) ограничен тогда и только тогда, когда решетка L анизотропна. <...> Обозначим через Or(L), O(2) r (L) и O(1.2) r (L) подгруппы группы O′(L), порожденные соответственно всеми отражениями, всеми 2-отражениями и всеми 1- и 2-отражениями, содержащимися в O′(L). <...> Решетка L называется рефлективной, 2-рефлективной или 1.2-рефлективной, если подгруппа Or(L), O(2) конечный индекс вO′(L). <...> Очевидно, что всякое конечное расширение 2-рефлективной (соответственно 1.2-рефлективной) гиперболической решетки также является 2-рефлективной (соответственно 1.2-рефлективной) решеткой. <...> ) классифицировал все 2-рефлективные гиперболические r (L) или O(1.2) r (L) соответственно <...>