Математические заметки Том 101 выпуск 1 январь 2017 УДК 517.925.51 Стохастическая устойчивость динамической системы, возмущенной белым шумом О.А. Султанов Исследуется влияние малых постоянно действующих случайных возмущений типа белый шум на динамическую систему с локально устойчивой неподвижной точкой. <...> Возмущенная система рассматривается в форме стохастических дифференциальных уравнений Ито. <...> При этом возмущение не исчезает в неподвижной точке. <...> В этом случае траектории стохастической системы, стартующие вблизи устойчивой неподвижной точки, покидают окрестность равновесия с вероятностью единица. <...> В работе описываются классы возмущений, относительно которых равновесие детерминированной системы устойчиво по вероятности на асимптотически большом временном отрезке. <...> Будем считать, что вектор-функция f(x, t) = (f1(x, t), . . . , fn(x, t)) непрерывна, удовлетворяет условию Липшица: |f(x1, t)−f(x2, t)| M1|x1 −x2| существует функция Ляпунова V (x, t), определенная в области Dr0,t0 с положительной постоянной M1. <...> Наличие такой функции Ляпунова обеспечивает (локальную) устойчивость тривиального решения в системе (1.1) при t t0 (см., например, [1]). <...> Если 0 α 1, то имеет место асимптотическая устойчивость. <...> Такие функции Ляпунова строятся, например, при исследовании устойчивости моделей авторезонанса [2] или некоторых решений уравнений Пенлеве [3]. <...> В работе исследуется влияние постоянно действующих возмущений типа белый шум на устойчивость тривиального решения x(t) ≡ 0 детерминированной системы (1.1). <...> Вместе с (1.1) рассматривается возмущенная система в форме стохастических дифференциальных уравнений Ито dy(t) = f(y(t), t) dt+µG(y(t), t) dw(t), t > t0, y(t0) = y0 ∈ Rn. <...> Малый параметр 0 < µ≪1 используется для контроля за интенсивностью возмущений. <...> Указанные ограничения на коэффициенты системы (1.3) гарантируют существование и единственность непрерывного с вероятностьюединица решения при всех t t0 для любой начальной точки y0 ∈ Rn (см. <...> ). Будем считать, что система (1.3 <...>